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Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit meist (nicht immer!) auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein. Dieser alltägliche Vorgang, zuerst vom Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli als Gesetzmäßigkeit formuliert, sagt aber nichts über den Verlauf von absoluten Häufigkeiten aus:

Gesetz der großen Zahlen

Anfrage: Tippteam Kronenstuben
Im Zahlenlotto 6 aus 49 ist die Dreizehn viel seltener als die anderen Kugeln gezogen worden. Nach den Gesetzen der großen Zahlen gleicht sich der Rückstand aber wieder aus. Deshalb müsste die Ziehungswahrscheinlichkeit der Dreizehn jetzt etwas höher sein. Lässt sich das genau berechnen?

Antwort:

Solange man 6 aus 49 Lottokugeln unter fairen Bedingungen zieht, beträgt die Ziehungswahrscheinlichkeit für jede Kugel exakt 6/49 (=1 - 48/49 × 47/48 × ...  × 43/44), egal wie klein oder groß der Rückstand ist.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt eben nicht, dass der Rückstand der Dreizehn kleiner werden muss. Im weiteren Verlauf steigt nur die Wahrscheinlichkeit, dass der Quotient „Rückstand : Gesamtziehungen” kleiner wird. Einfluss auf die Lottoziehungen hat das leider nicht.


Mathematik-Online, Gesetz der großen Zahlen


Anmerkungen:

Der schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli
1654 - 1705

Die Annahme, dass Bernoullis Gesetz der großen Zahlen Auswirkungen auf den Zufall hat, ist weit verbreitet. Aus dieser Verwechslung von Ursache und Wirkung wird dann ein Ausgleichsprinzip abgeleitet, das insbesondere bei Glücksspielen wie Roulette oder Lotto die Ziehungsrückstände ganz gerecht wieder aufhebt und somit dem Kenner ein Gewinnsystem bereitstellt. Der Irrtum liegt hier im Glauben an eine absolute Häufigkeit, die gegen den Erwartungswert strebt.

Ebenso falsch wie populär ist die Aussage, dass sich die relative Häufigkeit immer genauer der Wahrscheinlichkeit p annähert, je öfter man ein Zufallsexperiment wiederholt. Selbstverständlich ist das nicht „immer” der Fall, sondern es wird bei fortlaufender Wiederholung nur wahrscheinlicher, dass sich die relative Häufigkeit der Zahl p annähert. Das kann wie folgt präzisiert und begründet werden:

Ein Zufallsexperiment (etwa die Ziehung der Lottozahlen) werde fortlaufend unabhängig vom Ausgang der vorherigen Experimente wiederholt. Das Ereignis A habe die Wahrscheinlichkeit p und h(n) sei die absolute Häufigkeit von A nach n Versuchen. Die entsprechende Binomialverteilung Bn,p setzen wir in die Tschebyscheffsche Ungleichung ein und erhalten für jedes ε > 0:

Bn,p { h(n) ∈ {0,...n} : | h(n)/n - p | ≥ ε }  ≤  p(1-p) / nε²  ≤  1/4nε².

Die Ereignisse | h(n)/n - p | ≥ ε und | h(n)/n - p | < ε   haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 und daraus folgt:

Bn,p { h(n) ∈ {0,...n} : | h(n)/n - p | < ε }  ≥  1 - 1/4nε².

Somit strebt die Folge der Wahrscheinlichkeiten für n → ∞ gegen 1. Das bezeichnet man als stochastische Konvergenz. Dabei muss man sich nicht auf die Binomialverteilung beschränken - aus Bernoullis Gesetz der großen Zahlen wird dann das schwache Gesetz der großen Zahlen.

Zudem gibt es das starke Gesetz der großen Zahlen, bei dem es um die fast sichere Konvergenz geht. Mit Kenntnissen der Maßtheorie sieht man sofort, dass aus der fast sicheren Konvergenz stets die stochastische Konvergenz folgt. Das starke Gesetz impliziert also das schwache Gesetz, die Umkehrung gilt nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

In der Folge (Xn)n∈IN von Zufallsvariablen habe jedes Xn den Zielbereich {0,1}. Es sei X1 = 1, und in der Teilfolge (X2, X3) nimmt entweder X2 oder X3 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert 1 an. Unabhängig davon nimmt in (X4, ..., X7) genau ein Folgeglied mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 den Wert 1 an. Das setzt sich für alle Teilfolgen (X8, ..., X15), (X16, ..., X31) ... analog fort. Für n = 2i, 2i+1, ..., 2i+1-1 gilt somit: P(Xn = 1) = 1/2i mit i = 0, 1, 2, ... ad infinitum. Daher konvergiert die Folge (Xn) stochastisch gegen 0. Weil dennoch unendlich viele Glieder unserer abzählbaren Folge nicht den Wert 0 haben, liegt keine fast sichere Konvergenz vor.

Zum Schluss kommen wir auf die Lottozahl 13 zurück, deren relative Häufigkeit zurzeit mehr als 1% unter der Ziehungswahrscheinlichkeit p = 6/49 liegt. Die Abweichung wird in 7.000 Jahren sehr wahrscheinlich ( > 99%) unter ein Promille liegen - falls die Kugeln so lange rollen.
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