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Mit ein paar Streichhölzern kann man sich anschaulich klarmachen, wie die Länge einer Kurve berechnet wird:

Bogenlänge

Anfrage: Marburger, Schleswig
Wie lässt sich anschaulich zeigen, dass mit dem Integral
a b ∫√ [ f '(x) ]² + 1 dx   die Bogenlänge des Graphen der Funktion f über dem Intervall [a, b] berechnet werden kann?

Antwort:

Im Prinzip legt man Streichhölzer auf die Kurve und passt dann die Länge L eines jeden Hölzchens der Intervallbreite Δx an:

Streichholzmethode
Mittels Pythagoras ergibt sich also die Hölzchenlänge

L = [ f(x + Δx) - f(x) ]² + (Δx)²

= [( f(x + Δx) - f(x) ) / Δx ]² + 1 · Δx

Die Summe ∑√[(f(x + Δx) - f(x)) / Δx ]² + 1 · Δx liefert nun die Gesamtlänge aller Streichhölzer. Je kleiner Δx wird, umso genauer liegen die Hölzchen an der Kurve. Der Grenzübergang Δx → 0 wird mit dx symbolisiert, der Differenzenquotient [f(x + Δx) - f(x)] / Δx wird hierbei zum Differentialquotienten f '(x), und schließlich glättet sich ∑ zum Integralzeichen ∫.

Bemerkung:

Der Anschaulichkeit halber haben wir in der Antwort auf Indizes verzichtet - ausführlich heißt es selbstverständlich:
i = 1 n ∑√[(f(xi + Δx) - f(xi)) / Δx ]² + 1 · Δx mit x1 = a und xn + Δx = b.

Um ab ∫√ [ f '(x) ]² + 1 dx berechnen zu können, muss natürlich f ' existieren und integrierbar (fast überall stetig) sein. Auch wenn diese Voraussetzungen erfüllt sind, kann es vorkommen, dass keine elementare Stammfunktion existiert. Das Integral lässt sich dann etwa mit Reihenentwicklung und gliedweiser Integration berechnen.
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