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  Drei Hölzchen auf der Diagonale sind zu wenig und vier sind hier zu viel.
Ist es möglich, aus gleich langen Streichhölzern ein rechtwinkliges Dreieck zusammenzusetzen? In der hier abgebildeten Konstellation funktioniert das offensichtlich nicht. Das kann man sich anschaulich klarmachen oder rechnerisch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Wenn man nämlich die Anzahl der horizontalen Hölzchen mit m und die der vertikalen mit n bezeichnet, dann müssen auf der Diagonale genau m² + n² Hölzchen liegen. Erforderlich ist also, dass m²+n² eine Quadratzahl ergibt, weil wir keines der Streichhölzer abbrechen dürfen:

Pythagoräische Tripel

Anfrage:  Simon Frings, chello.at
Wie lautet der Beweis, dass die Gleichung m² + n² = q² in den ganzen Zahlen lösbar ist?

Antwort:

Den Beweis liefert hier schlicht und einfach die Gleichung: 3²+4² = 5². Es existieren sogar unendlich viele ganzzahlige Lösungen, die sich pythagoräische Tripel nennen. Wenn man nämlich aus zwei natürlichen Zahlen a und b die Zahlen m = a²-b², n = 2ab und q = a²+b² bildet, dann gilt: m²+n² = q².



Mathematik-Online, Pythagoräische Tripel


Bemerkung:

Es gibt somit unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, die wir aus unseren Streichhölzern konstruieren können. Das kleinste Dreieck besteht aus drei bzw. vier Hölzchen auf den zwei kurzen Seiten und fünf auf der Diagonale. Aus der Lösung (3, 4, 5) unserer Dreiecksaufgabe erhalten wir nun durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl d die Lösung (3d, 4d, 5d). Das Tripel (3, 4, 5) sowie alle pythagoräischen Tripel (m, n, q) ∈ IN³ mit ggT(m, n, q) = 1 heißen primitiv. Aus der Menge der primitiven Tripel lassen sich durch Multiplikation mit ganzen Zahlen alle pythagoräischen Tripel erzeugen
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