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Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannten bezeichnet man als überbestimmt, und im Allgemeinen sind solche Systeme nicht lösbar. Beispielsweise ergibt sich aus

2x + 3y = 1
4x + 3y = 5
3x + 6y = 1

die falsche Aussage  0 = 1. In der Praxis ist es aber unvermeidlich, dass Datenerhebungen zu widersprüchlichen Gleichungssystemen führen. Aus den gegebenen Zahlen konstruiert man dann eine Lösung mit minimalem Fehler, wobei die Eigenschaft „minimal” von der jeweiligen Norm abhängt. Es hat sich bewährt, die euklidische Norm des Fehlers zu minimieren - also die „Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate” anzuwenden. Bei linearen Systemen ist das in der Regel recht einfach, nichtlineare Systeme bereiten dagegen mehr Schwierigkeiten:

Ausgleichskreis zu den Punkten P, Q, R, S.
Sucht man etwa unter allen Kreisen der Ebene denjenigen, der zu den vier Punkten P, Q, R, S die kleinste Summe von Abstandsquadraten hat - die euklidische Norm des Fehlers ist dann minimal - wird vorab ein geeigneter Schätzwert für den Mittelpunkt und den Radius benötigt. Damit kann man das Problem linearisieren, hier also auf die Lösung linearer Gleichungssysteme reduzieren:

Ausgleichskreis

Frage
An kreisförmigen Metallscheiben werden im Abstand von 5 Grad Rundlaufmessungen vorgenommen, so dass es insgesamt 72 Messpunkte für eine Scheibe gibt. Wie kann ich den zugehörigen Ausgleichskreis mit dem Gauß-Newton-Verfahren berechnen?

Antwort

Zuerst ist für den Kreismittelpunkt (x,y) eine Abschätzung (x0, y0) erforderlich und für den Radius r eine Abschätzung r0. Mit den Messpunkten  (a1, b1) ... (a72, b72)  definiert man dann die Funktionen

Abstandsfunktion

Nun ist die Funktionalmatrix A von f:= (f1 ... f72)T an der Stelle (x0, y0, r0) zu berechnen. In den 72 Zeilen und drei Spalten von A stehen die Werte der partiellen Ableitungen δfk / δx,   δfk / δy,   δfk / δr,  k = 1 ... 72. Das resultierende Ausgleichsproblem

min(u,v,w) ||A·(u,v,w)T + b||

mit b:= ( f1(x0,y0,r0), ... , f72(x0,y0,r0) )T lässt sich anhand der Normalgleichungen  AT·A·(u,v,w)T + AT·b = 0 lösen. Daraus folgt: (u,v,w)T = - (AT·A)-1·(AT·b), wobei wir natürlich linear unabhängige Spalten der Matrix A voraussetzen. Meist sind x1:= x0 + u,   y1:= y0 + v,   r1:= r0 + w   Verbesserungen der Startwerte x0, y0, r0. Auf die gleiche Weise verfährt man mit x1, y1, r1 und bei Bedarf auch mit x2, y2, r2 etc.


Mathematik-Online, Ausgleichskreis

Beispiel

Zu den vier Punkten P = (2 , 1) , Q = (0 , -1) , R = (1 , -1) , S = (-2 , 11/10) suchen wir einen Kreis mit dem Mittelpunkt (x, y) und Radius r, so dass die Summe der Abstandsquadrate: f1²(x,y r) + f2²(x,y,r) + f3²(x,y,r) + f4²(x,y,r) = ( √(x-2)² + (y-1)² - r )² + ( √x² + (y+1)² - r )² + ( √(x-1)² + (y+1)² - r )² + ( √(x+2)² + (y-1,1)² - r )²   minimal wird.

Den Ausgleichskreis berechnen wir einfach mit Excel - die erforderlichen Algorithmen, etwa um inverse Matrizen zu bestimmen, sind dort vorhanden. Mittelpunkt und Radius schätzen wir mit (x0, y0) = (0, 0) und r0 = 1 ab:

Exceltabelle zur Berechnung eines Ausgleichskreises auf der Basis von 4 Messpunkten.

Die Näherungswerte x1:= x0 + u,  y1:= y0 + v,  r1:= r0 + w  setzen wir nun an Stelle der Startwerte x0, y0, r0 in die Zellen G2, G3, G4 ein. Entsprechend verfahren wir bei den nächsten Iterationen i = 2 und i = 3 :

Resultate dreier Iterationsschleifen.

Die Summe der Abstandsquadrate unterscheidet sich für i = 2 und i = 3 kaum noch, so dass hier keine weiteren Iterationen erforderlich sind.
Themenliste Herleitung der Ausgleichsrechnung