Startseite Mathematik-Online        Themenliste

Mathematik-Online

Die Zahlenlotterie Keno ist inzwischen auch in Deutschland recht populär. Allerdings müssen die Keno-Spieler davon ausgehen, im Durchschnitt mehr als die Hälfte des Einsatzes zu verlieren. Bevor wir darauf näher eingehen, berechnen wir die Chancen für einen Keno-Volltreffer:

Keno-Lotterie

Anfrage:  Klaus Middendorf, arcor
Bei der Lotterie Keno kann man jeden Tag 2 bis 10 Zahlen von insgesamt 70 Zahlen ankreuzen, abends werden dann aus 70 Zahlen die 20 Gewinnzahlen gezogen. Falls alle vom Spieler angekreuzten Zahlen dabei sind, hat er einen Volltreffer gelandet. Wie wahrscheinlich ist ein Volltreffer? Gibt es hierzu eine Formel?

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste angekreuzte Zahl unter den 20 Gewinnzahlen ist, beträgt 20/70. Die zweite Zahl hat nun die Trefferwahrscheinlichkeit 19/69, womit die Chance auf einen Volltreffer bei zwei angekreuzten Zahlen 2/7×19/69 = 38/483 beträgt. So fortfahrend ergibt sich schließlich mit zehn Zahlen die Volltreffer-Chance:  2/7×19/69×... ×11/61 = 19/40796434 - das ist kleiner als 1 zu 2 Millionen.

Die allgemeine Volltreffer-Wahrscheinlichkeit beträgt daher:
20! / (20-n)! × (70-n)! / 70!  ,
wobei n = 2, 3 ... 10 die Anzahl der angekreuzten Zahlen ist.


Mathematik-Online, Keno-Lotterie


Bei der Keno-Lotterie kann man auch ohne einen Volltreffer gewinnen. Wir berechnen jetzt die Chance, mit n Kreuzen k Treffer zu erzielen:

Die ersten k der n angekreuzten Zahlen sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 20! / (20-k)!  ×  (70-k)! / 70! Gewinnzahlen. Die verbleibenden n-k Zahlen sind mit der Wahrscheinlichkeit 50! / (50-n+k)! × (70-n)! / (70-k)! keine Gewinnzahlen. Zudem gibt es n!/(n-k)! Möglichkeiten, unter den n angekreuzten Zahlen k Treffer anzuordnen. Weil es aber bei der Auslosung nicht auf die Reihenfolge der Gewinnzahlen ankommt, muss man durch k! dividieren. Insgesamt beträgt somit die Chance für 0 ≤ k ≤ n Treffer bei n angekreuzten Zahlen:
Hypergeometrische Verteilung
Mit Hilfe dieser hypergeometrischen Verteilung lässt sich berechnen, dass die Keno-Spieler im Durchschnitt nur knapp die Hälfte des Einsatzes wieder ausgezahlt bekommen, wenn sie auf 2, 4, 5, 6, 7, 8 oder 10 Zahlen tippen (siehe Tabelle). Bei 3 oder 9 angekreuzten Zahlen ist der Erwartungswert geringfügig höher.
Themenliste Lottozahlen