Grundlage der Mathematik ist das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre, wobei diese drei Buchstaben für die Mathematiker Zermelo, Fraenkel und das Axiom of Choice (AC) stehen. Mit diesem Auswahlaxiom werden wir uns nun befassen - seine anschaulichste Version (vermutlich von Bertrand Russell) lautet wie folgt:

Sei J eine nichtleere Menge und {A_j}_j∈J eine Familie paarweise disjunkter, nichtleerer Mengen. Dann gibt es eine Menge M, die aus jeder der Mengen A_j genau ein Element und sonst keine weiteren Elemente enthält.

Man kann also aus beliebig vielen disjunkten Mengen gleichzeitig jeweils ein Element auswählen. Anschaulich ist das evident, aber die Folgerungen daraus können kurios erscheinen:

Anmerkung
Der Italiener G. Vitali (1875 - 1932) hat 1905 eine nicht Lebesgue-messbare Teilmenge der reellen Zahlen konstruiert - siehe unten. Das zugrunde liegende Lebesgue-Maß λ entspricht dabei der anschaulichen Vorstellung von Längenmessung im IR¹, das man zur Flächen- und Volumenberechnung auf den IRⁿ (n∈IN) ausweiten kann.

Wenn man die abzählbare Additivität des Maßes auf die endliche Additivität einschränkt, dann lässt sich zwar jeder Teilmenge des IR¹ bzw. des IR² ein Inhalt zuordnen, aber für alle weiteren Dimensionen ist das nicht möglich. So kann man etwa eine Vollkugel vom Radius 1 im IR³ per Auswahlaxiom in endlich viele disjunkte Teile zerlegen und aus diesen Teilen dann zwei disjunkte Vollkugeln vom Radius 1 zusammensetzen. Der Grund hierfür liegt in den kompliziert konstruierten Kugelteilen, denen man nicht auf vernünftige Weise ein Volumen zuordnen kann.

Insbesondere dieses Paradoxon (von Banach und Tarski) hat das Auswahlaxiom zweifelhaft erscheinen lassen. Später zeigte sich aber, dass es überhaupt nicht sinnvoll ist, stets von allen Teilmengen einer messbaren Menge zu fordern, dass sie ebenfalls messbar sind.

Die Idee besteht darin, reelle Zahlen x,y als äquivalent zu definieren, wenn die Differenz x-y eine rationale Zahl ist. Somit zerlegen wir IR in eine nicht abzählbare Menge IR/Q von (disjunkten) Äquivalenzklassen, in denen jeweils abzählbar unendlich viele reelle Zahlen liegen. Aus jeder Äquivalenzklasse lässt sich also genau eine reelle Zahl als Repräsentant auswählen - siehe Auswahlaxiom. Die Menge M dieser Repräsentanten kann natürlich beliebig kleine oder beliebig große Zahlen enthalten.

Aus beweistechnischen Gründen benötigen wir aber Repräsentanten, die alle im Intervall [0,1) liegen. Wir betrachten daher die Abbildung f: IR → [0,1) mit f(x) = x - ⌊x⌋ und ⌊x⌋:= max{m∈Z|m≤x}. Weil die Differenz x-f(x) stets eine rationale Zahl ist, sind die Zahlen x und f(x) äquivalent. Folglich ist die Menge W:= f(M) ⊂ [0,1) ein Repräsentantensystem von IR/Q, das heißt insbesondere: w, w' ∈ W sind genau dann äquivalent, wenn w = w' gilt. Wir nehmen jetzt an, dass die Menge W Lebesgue-messbar wäre.

1. Fall:
Angenommen, es gilt λ(W) = 0. Aus der Translationsinvarianz von λ folgt dann, dass W+q für jede rationale Zahl q eine λ-Nullmenge ist. Daher ist auch die abzählbar unendliche Vereinigung eine λ-Nullmenge.

Es liegt aber jede reelle Zahl in einer Äquivalenzklasse [w] ∈ IR/Q. Somit existiert für jedes r ∈ IR ein Repräsentant w_o ∈ W und eine rationale Zahl q_o mit r-w_o = q_o, also gilt: w_o+q_o = r und das bedeutet: r ∈ W+q_o. Ferner ergibt sich aus der Inklusion W ⊂ [0,1) sofort: 0 ≤ w_o < 1. Für r ∈ [0,1) folgt daraus: -1 < r-w_o < 1, das heißt: q_o ∈ (-1,1). Damit liegt jedes r ∈ [0,1) in der Menge V, und daher gilt: λ(V) ≥ λ([0,1)) = 1. Somit kann V keine λ-Nullmenge sein - Widerspruch!

2. Fall:
W ist also keine λ-Nullmenge, das bedeutet: λ(W) = c > 0. Zuerst machen wir uns klar, dass die Mengen W+q und W+q' für alle q, q' ∈ Q mit q ≠ q' disjunkt sind:
Sei also x ∈ W+q ∩ W+q', dann existieren w, w' ∈ W mit x = w+q = w'+q'. Daraus folgt für q ≠ q': w-w' = q'-q ≠ 0. Einerseits gilt dann: w ≠ w', und andererseits ergibt sich daraus, dass w und w' äquivalent sind. Das ist aber nicht möglich, weil W ein Repräsentantensystem von IR/Q ist. Folglich gilt für q ≠ q': W+q ∩ W+q' = ∅.

Damit ist unsere anfangs definierte Menge V eine abzählbar unendliche Vereinigung der disjunkten Mengen W+q. Aus der Sigma-Additivität und der Translationsinvarianz von λ folgt also: λ(V) = ∞ · c = ∞. Hingegen gilt aber für jedes x ∈ V: x = w+q mit w ∈ W ⊂ [0,1) und q ∈ (-1,1). Daraus folgt: -1 < x < 2. Somit ist V eine Teilmenge von (-1,2), also gilt: λ(V) ≤ λ((-1,2)) = 3. Daher ergibt die Aussage λ(W) > 0 ebenfalls einen Widerspruch.

Folglich kann die Menge W nicht Lebesgue-messbar sein. Die Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen ist damit bewiesen - vorausgesetzt, man akzeptiert das Auswahlaxiom.