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Grundlage der Mathematik ist das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre, wobei diese drei Buchstaben für die Mathematiker Zermelo, Fraenkel und das Auswahlaxiom AC (Axiom of Choice) stehen. AC ist Anfang des 20. Jahrhunderts formuliert worden und war zunächst umstritten (siehe unten). Seine anschaulichste Version (vermutlich von Bertrand Russell) lautet wie folgt:

Sei J eine nichtleere Menge und {Aj}j∈J eine Familie paarweise disjunkter, nichtleerer Mengen. Dann gibt es eine Menge M, die aus jeder der Mengen Aj genau ein Element und sonst keine weiteren Elemente enthält.

Man kann also aus beliebig vielen disjunkten Mengen gleichzeitig jeweils ein Element auswählen. Damit lassen sich Mengen konstruieren, die man nicht messen kann:

Auswahlaxiom (AC)

Frage
Mit dem Auswahlaxiom kann man bekanntlich beweisen, dass es nicht Lebesgue-messbare Teilmengen von IR gibt. Wenn man aber aus jeder Nebenklasse von IR/Q die jeweils kleinste nichtnegative Zahl auswählt, hat man damit doch eine eindeutige Vorschrift (Formel) zur Bestimmung der nicht messbaren Menge M der Repräsentanten von IR/Q angegeben und muss nicht das Auswahlaxiom bemühen. So wähle ich zum Beispiel für die Nebenklasse aller rationalen Zahlen die Zahl Null aus. Wieso soll das nicht funktionieren?

Antwort

Abgesehen von der Nebenklasse [0] der rationalen Zahlen existieren keine kleinsten nichtnegativen Repräsentanten. Jeder nichtnegative irrationale Repräsentant r ist nämlich positiv, und zu jeder Zahl r > 0 gibt es eine natürliche Zahl n mit 1/n < r. Die Zahl r - 1/n ist also nichtnegativ, äquivalent zu r und offenkundig kleiner als r.

Das Verfahren funktioniert also nicht, und es ist auch zwecklos, nach einem anderen Verfahren zu suchen. Man kann nämlich zeigen, dass es ohne Auswahlaxiom unmöglich ist, die Existenz von nicht Lebesgue-messbaren Mengen nachzuweisen (vgl. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie).



Existenzbeweis nicht Lebesgue-messbarer Teilmengen von IR

Die Zahlen r, s seien äquivalent, wenn die Differenz r - s eine rationale Zahl ist. Das ergibt überabzählbar viele (disjunkte) Äquivalenzklassen. Mittels AC lässt sich aus jeder Klasse genau ein Repräsentant auswählen. Indirekt folgt, dass die Menge M aller Repräsentanten keine λ-Nullmenge ist, demnach muss λ(M) > 0 sein, aber auch das liefert einen Widerspruch. Daher ist die Menge M nicht λ(Lebesgue)-messbar. Hier zeigen wir, wie der Beweis genau funktioniert.

Wenn man statt der σ-Additivität des Lebesguemaßes auf IR bzw. IR2 nur die endliche Additivität betrachtet, lässt sich zwar jeder Teilmenge von IR bzw. IR² ein Inhalt zuordnen, aber für alle weiteren Dimensionen ist das nicht möglich. So kann man etwa eine Vollkugel vom Radius 1 im IR³ per Auswahlaxiom in endlich viele disjunkte Teile zerlegen und aus diesen Teilen dann zwei disjunkte Vollkugeln vom Radius 1 zusammensetzen. Der Grund hierfür liegt in den kompliziert konstruierten Kugelteilen, denen man nicht auf vernünftige Weise ein Volumen zuordnen kann.

Insbesondere dieses Paradoxon (nach Banach und Tarski benannt) hat das Auswahlaxiom zweifelhaft erscheinen lassen. Später zeigte sich aber, dass es überhaupt nicht sinnvoll ist, stets von allen Teilmengen einer messbaren Menge zu fordern, dass sie ebenfalls messbar sind.
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