Grundlage der Mathematik ist das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre. Diese drei Buchstaben stehen für die Mathematiker
Zermelo, Fraenkel und das Auswahlaxiom AC (Axiom of Choice). Die
anschaulichste Version von AC stammt vermutlich von Bertrand Russell:
Sei {Aj}j∈J
eine Familie paarweise disjunkter, nichtleerer Mengen, wobei J≠∅ eine beliebige Indexmenge ist.
Dann gibt es eine Menge M, die aus jeder Menge Aj genau ein Element enthält und keine anderen Elemente.
Man kann also aus beliebig vielen disjunkten Mengen gleichzeitig jeweils ein Element auswählen -
und damit zum Beispiel die Existenz von nicht Lebesgue-messbaren Mengen nachweisen:
Auswahlaxiom (AC)
Frage
Mit dem Auswahlaxiom lässt sich bekanntlich beweisen, dass es nicht Lebesgue-messbare Teilmengen von IR gibt. Warum braucht man
aber für die Auswahl der Repräsentanten ein Axiom? Man kann doch konkret aus jeder Äquivalenzklasse von IR/Q
die kleinste nichtnegative Zahl als Repräsentanten auswählen - etwa die Zahl Null aus der Äquivalenzklasse der rationalen Zahlen.
Antwort
Abgesehen von der Äquivalenzklasse [0] der rationalen Zahlen existieren keine kleinsten nichtnegativen Repräsentanten:
Zu jedem Repräsentanten r > 0 gibt es eine natürliche Zahl n mit 1/n < r.
Die Zahl r - 1/n ist also nichtnegativ, äquivalent zu r und kleiner als r.
Ohne Auswahlaxiom ist es grundsätzlich unmöglich, die
Existenz von nicht Lebesgue-messbaren Mengen zu zeigen, vgl. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie.
Beweisidee zur Existenz nicht Lebesgue-messbarer Teilmengen von
IR:
Zwei reelle Zahlen r, s seien äquivalent, wenn r - s eine rationale Zahl ist. Das ergibt überabzählbar viele (disjunkte) Äquivalenzklassen.
Mittels AC
kann man aus jeder Klasse genau einen Repräsentanten auswählen. Indirekt zeigt sich, dass die Menge M der Repräsentanten
keine Lebesgue-Nullmenge ist, d.h. λ(M) ≠ 0.
Demnach müsste λ(M) > 0 sein, aber auch das ergibt einen Widerspruch.
Folglich ist M nicht Lebesgue-messbar.
