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Mathematik-Online, Beweistechniken


Mathematische Lehrsätze sind häufig Schlussfolgerungen der Form: "Wenn Aussage A wahr ist, dann ist auch Aussage B wahr" (kurz: A ⇒ B). Mit einer Wahrheitstafel zeigt sich, dass die Implikation A ⇒ B logisch äquivalent ist zur Kontraposition ¬B ⇒ ¬A. Damit kann die Beweisführung mitunter ganz einfach werden, wie sich an folgender Implikation zeigt:

Wenn m² eine ungerade Zahl ist, dann ist m ebenfalls ungerade.

Beweis: Es sei m eine gerade Zahl, also m = 2k. Daraus folgt: m² = 4k², womit m² durch 4 teilbar und damit gerade ist.

Hier ergibt sich der Beweis per Kontraposition also von selbst - ähnlich ist es bei folgendem Experiment:

Kontraposition

Es liegen vier Karten auf dem Tisch, die auf einer Seite jeweils mit einem Buchstaben und auf der anderen Seite mit einer ganzen Zahl beschriftet sind. Folgende Konstellation ist gegeben:

E       K       4       7

Behauptung: Wenn auf einer Kartenseite ein Vokal steht, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Frage
Welche Karten muss man umdrehen, um zu zeigen, dass die Behauptung richtig oder falsch ist? Dabei dürfen nicht mehr Karten als erforderlich umgedreht werden.

Antwort
Es ist klar, dass man die Karte E umdrehen muss. Außerdem muss auch die Karte mit der 7 umgedreht werden, denn die Kontraposition der Behauptung lautet: Wenn auf einer Seite eine ungerade Zahl steht, dann steht auf der anderen Seite ein Konsonant. Das Umdrehen der Karte K oder der Karte mit der 4 ist überflüssig, also im Sinne der Aufgabenstellung falsch.


Anmerkungen

Diese Aufgabe geht auf den britischen Kognitionspsychologen Peter Wason zurück und ist als Wason-Test (Wason selection task) bekannt. Wie es heißt, scheitern über 90% aller Testpersonen daran, wobei die meisten den Fehler machen, die Karte mit der 4 umzudrehen, also die Behauptung (A ⇒ B) mit deren Umkehrung (B ⇒ A) gleichzusetzen.

Häufig wird ein Beweis per Kontraposition mit einem Widerspruchsbeweis verwechselt oder völlig überflüssig dazu umfunktioniert. Ein einfaches Beispiel liefert die obige Schlussfolgerung: Wenn m² ungerade ist, dann ist m ungerade. Wir haben also die Aussage A: m² ist ungerade, die Aussage B: m ist ungerade und die Implikation A ⇒ B. Es gibt keinen Grund, diese Implikation mit folgendem Widerspruchsbeweis zu zeigen:

Angenommen, m² ist ungerade und m gerade. Somit ist m = 2k, daraus folgt: m² = 4k². Das widerspricht der Annahme, dass m² ungerade ist.

Hierbei wird völlig überflüssig Aussage A vorausgesetzt und dann ¬B ⇒ ¬A gezeigt, was der Voraussetzung widerspricht. Stattdessen reicht es, nur die Kontraposition ¬B ⇒ ¬A zu zeigen. In diesem einfachen Fall sieht man das sofort, in schwierigeren Situationen wird das aber oft übersehen.
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