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Mathematik-Online, Beweistechniken


Die meisten mathematischen Lehrsätze lassen sich in der Form darstellen: "Wenn Aussage A wahr ist, dann ist auch Aussage B wahr". Die Notation hierfür lautet A ⇒ B und mit einer Wahrheitstafel sieht man sofort, dass diese Implikation logisch äquivalent ist zur Kontraposition ¬B ⇒ ¬A. Damit kann die Beweisführung mitunter ganz einfach werden, wie sich an folgender Implikation zeigt:

Wenn m² eine ungerade Zahl ist, dann ist m ebenfalls ungerade.

Beweis: Es sei m = 2k eine gerade Zahl, daraus folgt: m² = 4k² ist eine gerade Zahl.

Hier ergibt sich der Beweis per Kontraposition also von selbst - ähnlich ist es bei folgendem Experiment:

Beweis per Kontraposition

Es liegen vier Karten auf dem Tisch, die auf einer Seite jeweils mit einem Buchstaben und auf der anderen Seite mit einer ganzen Zahl beschriftet sind. Folgende Konstellation ist gegeben:

E       K       4       7

Behauptung: Wenn auf einer Kartenseite ein Vokal steht, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Fragestellung
Welche Karten muss man umdrehen, um zu zeigen, dass die Behauptung richtig oder falsch ist? Dabei dürfen nicht mehr Karten als erforderlich umgedreht werden.

Antwort
Es ist klar, dass man die Karte E umdrehen muss. Außerdem muss auch die Karte mit der 7 umgedreht werden, denn die Kontraposition der Behauptung lautet: Wenn auf einer Seite eine ungerade Zahl steht, dann steht auf der anderen Seite ein Konsonant. Das Umdrehen der Karte K oder der Karte mit der 4 ist überflüssig, also im Sinne der Aufgabenstellung falsch.


Anmerkung
Diese Aufgabe geht auf den britischen Kognitionspsychologen Peter Wason zurück und ist als Wason-Test (Wason selection task) bekannt. Wie es heißt, scheitern über 90% aller Testpersonen daran, wobei die meisten den Fehler machen, die Karte mit der 4 umzudrehen, also die Behauptung (A ⇒ B) mit deren Umkehrung (B ⇒ A) gleichzusetzen.
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