Z sei der Ring der ganzen Zahlen. Auf M:= Z × Z \ {0} ist die folgende Relation definiert:
(a,b) R (c,d) genau dann, wenn
a · d = b · c.
Was bedeutet das und wie lässt sich zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation ist?
M steht für die Menge aller Brüche - die Relation R bewirkt, dass man zwei Brüche
genau dann unterscheidet, wenn sie ungleiche Quotienten haben.
In diesem Sinne sind etwa die Brüche 4/2 und 6/3
nicht verschieden. Wie man im Grunde schon in der Schule lernt, repräsentieren beide
also dieselbe Äquivalenzklasse (rationale Zahl).
Dass R eine Äquivalenzrelation ist, folgt einerseits
aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation ganzer Zahlen - hieraus ergeben sich
Reflexivität und Symmetrie. Außerdem lässt sich jede Zahl m ≠ 0
aus einer Gleichung herauskürzen (Z ist nullteilerfrei) - daher ist R auch
transitiv.