Die Aussage 1 + 1 = 0 dürfte vielen Leuten zunächst unsinnig erscheinen. Strukturiert man die ganzen Zahlen aber mit einer Äquivalenzrelation, bei der man nur noch die geraden von den ungeraden Zahlen unterscheidet, so ist die obige Aussage sogar wahr. Auch die Bruchrechnung basiert auf einer Äquivalenzrelation:

Äquivalenzrelation

Frage

Z sei der Ring der ganzen Zahlen. Auf M:= Z × Z \ {0} ist die folgende Relation definiert: (a,b) R (c,d) genau dann, wenn a · d = b · c. Was bedeutet das und wie lässt sich zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation ist?

Antwort

M steht für die Menge aller Brüche - die Relation R bewirkt, dass man zwei Brüche genau dann unterscheidet, wenn sie ungleiche Quotienten haben. In diesem Sinne sind etwa die Brüche 4/2 und 6/3 nicht verschieden. Wie man im Grunde schon in der Schule lernt, repräsentieren beide also dieselbe Äquivalenzklasse (rationale Zahl).

Dass R eine Äquivalenzrelation ist, folgt einerseits aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation ganzer Zahlen - hieraus ergeben sich Reflexivität und Symmetrie. Außerdem lässt sich jede Zahl m ≠ 0 aus einer Gleichung herauskürzen (Z ist nullteilerfrei) - daher ist R auch transitiv.

Bemerkung

Äquivalenzrelationen begegnen uns überall in der Mathematik - und im Alltag. Beispielsweise ist die Identität eines Geldscheins (u.a. seine Seriennummer) an der Supermarkt-Kasse ohne Bedeutung.

Zwei gültige Euroscheine A, B sind beim Bezahlen äquivalent, wenn gilt: Betrag A = Betrag B.

Mathematik-Online

Äquivalenzrelation