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Bei der Berechnung von Zinseszinsen ist zu unterscheiden, wann die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden. Banken kapitalisieren die Zinsen der Anleger grundsätzlich erst zum Ende eines Jahres. In den meisten Formelsammlungen und finanzmathematischen Computerprogrammen wird dagegen die unterjährige Zinskapitalisierung zugrunde gelegt:

Zinsrechnung

Anfrage:  H. Mangels, LVM
Nach welcher Formel (mit welcher Excelfunktion) berechne ich den Jahreszinssatz, wenn ich die Höhe der monatlichen Rate, die Dauer der Einzahlung und den Endbetrag habe?

Antwort:

In Excel gibt es hierzu die Funktion „ZINS” - allerdings werden dabei die Zinsen am Ende jeder Zahlungsperiode kapitalisiert (in Ihrem Fall also monatlich). Die Banken rechnen die Zinsen in der Regel aber erst am Jahresende dem Kapital hinzu, und dann liefert „ZINS” nicht den entsprechenden Zinssatz. Bei der praxisüblichen Zinskapitalisierung zum Jahresende und Einzahlung des Betrages R jeweils am Monatsanfang ergibt sich nach n Jahren bei einem Jahreszinssatz von p Prozent das Endkapital

Kn = R·(12 + 13·p/2)·[(1+p)n - 1]/ p.

Für n ≥ 5 lässt sich diese allgemeine Gleichung nicht nach p umstellen. Das ist jedoch kein Problem, weil man für konkrete Werte von R und Kn den gesuchten Zinssatz p etwa durch Intervallschachtelung mit Excel elementar bestimmen kann.


Mathematik-Online, Zinsrechnung


Bemerkung:

Die obige Formel haben wir folgendermaßen hergeleitet: Vom Jahresbeginn an wird zum Anfang eines jeden Monats die Rate R eingezahlt. Ende des Jahres betragen die Zinsen Z:= 1·R·p/12 + 2·R·p/12 + ... + 12·R·p/12. Wir addieren die 12 Raten hinzu und erhalten den Betrag

B:= 12·R + Z = R·(12 + 13·p/2).

B wächst mit Zinseszinsen in den verbleibenden n-1 Jahren auf den Betrag Bn-1:= B·(1+p)n-1 an. Im zweiten Jahr erhalten wir erneut den Betrag B, der in den verbleibenden n-2 Jahren auf Bn-2:= B·(1+p)n-2 anwächst. So fortfahrend ergibt sich n Jahren das Kapital

Kn = Bn-1 + Bn-2 + ... + Bo = B·[(1+p)n-1 + (1+p)n-2 + ... + (1+p)0] =
B ·[(1+p)n -1] / p  =  R·(12 + 13·p/2) · [(1+p)n - 1] / p.

Wenn dagegen die Zinsen am Monatsende dem Kapital hinzugerechnet werden, ergibt sich: Kn = 12R·[(1 + p/12)12n+1 - (1 + p/12)]/p. Diese Formel wird zum Beispiel von der Excel-Funktion „ZW” verwendet. Bei großen Beträgen und hohen Zinssätzen ist die Differenz zur üblichen Berechnung der Banken dann erheblich.
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