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Brüche, deren Nenner ausschließlich die Primfaktoren 2 oder 5 enthalten, kann man durch Dezimalzahlen darstellen, die endlich viele Kommastellen haben. Ansonsten gibt es (für vollständig gekürzte Brüche) nur unendliche periodische Dezimalbruchentwicklungen:

Periodische Dezimalzahl

Anfrage: Katharina Schmidt, gmx
Mein Rechner zeigt bei der Division 1 durch 161 das Ergebnis 0,0062111801 an. Wie kann ich feststellen, ob das der genaue Wert ist? Es könnte aber auch die periodische Zahl 0,006211180 sein. Wie sehe ich das der Zahl an?

Antwort:

1/161 hat keine endliche Dezimalbruchentwicklung, weil 161 nicht (nur) aus den Primfaktoren 2 oder 5 besteht. Ferner fängt die Periode mit der ersten Kommastelle an - ansonsten müsste der Nenner neben anderen Primfaktoren auch durch 2 oder 5 teilbar sein, wie etwa im Fall 1/12 = 0,083.

Wir betrachten nun die kleinste natürliche Zahl n, so dass 10n bei der Division durch 161 den Rest 1 hat, also: 10n = m·161 + 1. Dann ist 10n·1/161 - 1/161 eine ganze Zahl und somit ist unser minimales n die Periodenlänge von 1/161. Wir müssen aber nicht etliche Zehnerpotenzen durch 161 dividieren, um n zu berechnen - mit ein wenig Algebra ergibt sich nämlich: n = kgV(6, 22) = 66.


Mathematik-Online, Periodische Dezimalzahl



Bemerkung:

Wir zeigen jetzt, wie wir das minimale n bestimmt haben, so dass bei der Division von 10n durch 161 der Rest 1 bleibt. Es ist also die Ordnung n der Restklasse 10 ∈ Z*161 gesucht. (10 ist teilerfremd zu 161, folglich liegt 10 in der Einheitengruppe Z*161 des Ringes Z161.) Der Aufwand ist viel geringer, wenn wir die Berechnungen in Z*7 × Z*23 durchführen. Aus dem chinesischen Restsatz folgt nämlich, dass dieses direkte Produkt isomorph zu Z*161 ist, wobei 10 auf (10,10) = (3,10) abgebildet wird. Damit ist die Ordnung von 10 ∈ Z*161 gleich der Ordnung von (3,10) ∈ Z*7 × Z*23. Weil (1,1) die Eins in Z*7 × Z*23 ist, folgt aus k:= Ordnung von 3 ∈ Z*7 und m:= Ordnung von 10 ∈ Z*23 die Gleichung: n = kgV(k,m).

   Der französische Mathematiker Joseph Louis Lagrange.

Joseph Lagrange
1736 - 1813

Aufgrund des Satzes von Joseph Lagrange wissen wir außerdem, dass die Ordnung eines Elementes einer Gruppe G die Ordnung von G teilt. Folglich ist m ein Teiler der Gruppenordnung 22 von Z*23, und damit gilt: m = 1, 2, 11 oder 22. Wegen der leicht zu überprüfenden Aussagen: 1011,   1021 und 10111 muss m = 22 sein. Analog berechnet man für 3 ∈ Z*7 die Ordnung k = 6.
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