Periodische Dezimalzahl

Wir zeigen jetzt, wie wir das minimale n bestimmt haben, so dass bei der Division von 10ⁿ durch 161 der Rest 1 bleibt. Es ist also die Ordnung n der Restklasse 10 ∈ Z^*₁₆₁ gesucht. (10 ist teilerfremd zu 161, folglich liegt 10 in der Einheitengruppe Z^*₁₆₁ des Ringes Z₁₆₁.) Der Aufwand ist viel geringer, wenn wir die Berechnungen in Z^*₇ × Z^*₂₃ durchführen. Aus dem chinesischen Restsatz folgt nämlich, dass dieses direkte Produkt isomorph zu Z^*₁₆₁ ist, wobei 10 auf (10,10) = (3,10) abgebildet wird. Damit ist die Ordnung von 10 ∈ Z^*₁₆₁ gleich der Ordnung von (3,10) ∈ Z^*₇ × Z^*₂₃. Weil (1,1) die Eins in Z^*₇ × Z^*₂₃ ist, folgt aus k:= Ordnung von 3 ∈ Z^*₇ und m:= Ordnung von 10 ∈ Z^*₂₃ die Gleichung: n = kgV(k,m).

Aufgrund des Satzes von Joseph Lagrange wissen wir außerdem, dass die Ordnung eines Elementes einer Gruppe G die Ordnung von G teilt. Folglich ist m ein Teiler der Gruppenordnung 22 von Z^*₂₃, und damit gilt: m = 1, 2, 11 oder 22. Wegen der leicht zu überprüfenden Aussagen: 10¹ ≠ 1,   10² ≠ 1 und 10¹¹ ≠ 1 muss m = 22 sein. Analog berechnet man für 3 ∈ Z^*₇ die Ordnung k = 6.