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Teilbarkeitsregeln zum Divisor d ergeben sich vor allem aus der Division 10n : d. Weil 10n : 3 für alle n ∈ IN den Rest 1 liefert, kann man sich beim Divisor 3 auf die Überprüfung der Quersumme beschränken - als notwendiges und hinreichendes Kriterium. Zum Beispiel teilt die 3 nicht 782, da 3 kein Teiler von 7 + 8 + 2 = 17 ist.

Begründung: 782 = 7·100 + 8·10 + 2 = 7·(3·33 + 1) + 8·(3·3 + 1) + 2 = 7·3·33 + 8·3·3 + 7 + 8 + 2 = 3·(7·33 + 8·3) + 17.

Die Teilbarkeit durch 9 lässt sich ebenso direkt an der Quersumme ablesen. Teilt man jedoch die Zehnerpotenzen der Reihe nach durch 7, so ergibt das sechs unterschiedliche Reste und entsprechend knifflige Teilerregeln:

Quersumme und Siebener-Regel

Anfrage: jeff, die-auserwaehlten.com
Bekanntlich kann man durch Bildung der Quersumme prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist. Auch für andere Divisoren kenne ich ähnliche Regeln. Aber die Teilbarkeitsregel zur Zahl 7 ist mir unbekannt! Gibt es für die Sieben eine solche Regel?

Antwort:

Man kann einige Siebener-Regeln konstruieren, etwa folgende, die wir 1,3,2-Regel nennen wollen: 7 teilt genau dann die Zahl mit den Ziffern cba (also die Zahl a + 10b + 100c ), wenn 1·a + 3·b + 2·c durch 7 teilbar ist. Wir wenden das auf die Zahl 154 an: 1·4 + 3·5 + 2·1 = 21 ist ein Vielfaches von 7, also ist 154 durch 7 teilbar.

Bei Zahlen mit mehr als drei Stellen ist dann (von hinten gezählt) die 4. bis 6. Stelle, 10. bis 12. Stelle ... jeweils noch mit -1 zu multiplizieren. Beispiel: 94.261.285.699 hat bei der Division durch 7 den gleichen Rest wie 1·9 + 3·9 + 2·6 - 1·5 - 3·8 - 2·2 + 1·1 + 3·6 + 2·2 - 1·4 - 3·9 = 7.


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Bemerkung:

Wir wollen unsere obige Siebener-Regel kurz begründen: Bei der Division durch 7 ergibt sich für 100 der Rest 1, für 101 der Rest 3, 102 hat den Rest 2, 103 den Rest -1, 104 den Rest -3 und 105 den Rest -2. Schließlich liefert 106 wieder den Rest 1 und daraus folgt: 10n+6 hat bei Division durch 7 den gleichen Rest wie 10n. Die Reste aller Zehnerpotenzen erhält man also zyklisch aus den Resten von 100, ... ,105.

Die Konstruktion weiterer Siebener-Regeln ist damit kein Problem:

Siebener-Regel II

Anfrage: sascha, sst-computer
Ihre 1,3,2-Regel war mir bislang unbekannt, ich kenne aber ein ähnliches Verfahren, die „alternierende Summe von Dreiergruppen”. Man teilt z.B. 23435325532 von hinten an in Dreiergruppen ein, bildet die alternierende Summe 532 - 325 + 435 - 23 und prüft, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist. Könnten Sie mir sagen, warum das funktioniert?

Antwort:

Das Verfahren funktioniert aus dem gleichen Grund wie unsere 1,3,2-Regel: Die Division von 100 durch 7 ergibt den Rest 1, 103 hat den Rest -1, 106 den Rest 1 und 109 den Rest -1. Bei der Division durch 7 erhält man daher für die Zahlen 23.435.325.532 = 532·100 + 325·103 + 435·106 + 23·109 und 532·1 + 325·(-1) + 435·1 + 23·(-1) den gleichen Rest.



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Die folgende Siebener-Regel ist für kleine Zahlen geeignet:

Siebener-Regel III

Anfrage: Mike Baselt, freenet
Ich unterrichte an einer Gesamtschule unter anderem in der 10. Jahrgangsstufe Mathematik und habe meinen Schülern die Aufgabe gestellt, im Internet nach Teilbarkeitsregeln für die 7 zu suchen. Einer meiner Schüler kam mit folgender Regel:

Man verdoppelt die letzte Ziffer einer Zahl x und zieht das von der restlichen Zahl (ohne die letzte Ziffer) ab. Wenn diese Differenz eine durch 7 teilbare Zahl ist, dann ist die ursprüngliche Zahl x auch durch 7 teilbar.
Beispiel: x = 315    31 - 2·5 = 21 ist durch 7 teilbar, also ist 315 durch 7 teilbar.

1. Frage: Ist diese Regel korrekt oder gibt es Einschränkungen?
2.Frage: Wie beweist man das?

Antwort:

7 teile -2a + b + 10c + ... , genau dann teilt 7 das Produkt 10·(-2a + b + 10c + ... ) = -20a + 10b + 100c + ... Weil -20a und a bei der Division durch 7 den gleichen Rest haben, ist auch a + 10b + 100c + ... durch 7 teilbar. Daher ist die von Ihnen genannte Regel stets gültig.

Aus unserer Argumentation folgt auch sofort, dass a + 10b + 100c + ... kein Vielfaches von 7 ist, wenn 7 nicht -2a + b + 10c + ... teilt. Folglich darf man in obiger Regel das Wort „dann” durch „genau dann” ersetzen, womit ein notwendiges und hinreichendes Kriterium zur Teilbarkeit durch 7 gegeben ist.
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