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Teilbarkeitsregeln zum Divisor d ergeben sich durch die Restklassen der Zehnerpotenzen im Restklassenrings Z/dZ. Zum Beispiel liegen alle Potenzen 100, 101, 102 ... in Z/3Z in der Restklasse 1, folglich ist eine ganze Zahl genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Im Restklassenring Z/7Z bilden die Zehnerpotenzen dagegen sechs verschiedene Restklassen:

Quersumme und Siebener-Regel

Anfrage: jeff, die-auserwaehlten.com
Bekanntlich kann man durch Bildung der Quersumme prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist. Auch für andere Divisoren kenne ich ähnliche Regeln. Aber die Teilbarkeitsregel zur Zahl 7 ist mir unbekannt! Gibt es für die Sieben eine solche Regel?

Antwort:

Es gibt zum Beispiel die 1,3,2-Regel: 7 teilt genau dann die Zahl mit den Ziffern cba (also die Zahl a + 10b + 100c ), wenn 1·a + 3·b + 2·c durch 7 teilbar ist. Wir wenden das auf die Zahl 154 an: 1·4 + 3·5 + 2·1 = 21 ist ein Vielfaches von 7, also ist 154 durch 7 teilbar.

Bei Zahlen mit mehr als drei Stellen ist dann (von hinten gezählt) die 4. bis 6. Stelle, 10. bis 12. Stelle ... jeweils noch mit -1 zu multiplizieren. Beispiel: 94.261.285.699 hat bei der Division durch 7 den gleichen Rest wie 1·9 + 3·9 + 2·6 - 1·5 - 3·8 - 2·2 + 1·1 + 3·6 + 2·2 - 1·4 - 3·9 = 7.

Bemerkung

Die obige Siebener-Regel kann man wie folgt herleiten. Bei der Division durch 7 ergibt sich für 100 der Rest 1, für 101 der Rest 3, 102 hat den Rest 2, 103 den Rest -1, 104 den Rest -3 und 105 den Rest -2. Schließlich liefert 106 wieder den Rest 1 und daraus folgt: 10k+6 hat bei Division durch 7 den gleichen Rest wie 10k. Die Reste aller Zehnerpotenzen erhält man somit zyklisch aus den Resten von 100, ... ,105.

Wenn man nur die Potenzen 103k betrachtet, ergibt sich also bei der Division durch 7 für alle geraden k der Rest 1 und für ungerade k der Rest -1 und damit folgende Regel, die man problemlos auf beliebig große Zahlen anwenden kann:

Siebener-Regel II

Anfrage: sascha, sst-computer
Ihre 1,3,2-Regel war mir bislang unbekannt, ich kenne aber ein ähnliches Verfahren, die „alternierende Summe von Dreiergruppen”. Man teilt z.B. 23435325532 von hinten an in Dreiergruppen ein, bildet die alternierende Summe 532 - 325 + 435 - 23 und prüft, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist. Könnten Sie mir sagen, warum das funktioniert?

Antwort:

Die Division von 100 durch 7 ergibt den Rest 1, 103 hat den Rest -1, 106 den Rest 1 und 109 den Rest -1. Bei der Division durch 7 erhält man daher für die Zahlen 23.435.325.532 = 532·100 + 325·103 + 435·106 + 23·109 und 532·1 + 325·(-1) + 435·1 + 23·(-1) den gleichen Rest.


Nun folgt noch eine ganz einfache Siebener-Regel:

Siebener-Regel III

Anfrage: Mike Baselt, freenet
Ich unterrichte an einer Gesamtschule unter anderem in der 10. Jahrgangsstufe Mathematik und habe meinen Schülern die Aufgabe gestellt, im Internet nach Teilbarkeitsregeln für die 7 zu suchen. Einer meiner Schüler kam mit folgender Regel:

Man verdoppelt die letzte Ziffer einer Zahl x und zieht das von der restlichen Zahl (ohne die letzte Ziffer) ab. Wenn diese Differenz eine durch 7 teilbare Zahl ist, dann ist die ursprüngliche Zahl x auch durch 7 teilbar.
Beispiel: x = 315    31 - 2·5 = 21 ist durch 7 teilbar, also ist 315 durch 7 teilbar.

1. Frage: Ist diese Regel korrekt oder gibt es Einschränkungen?
2.Frage: Wie beweist man das?

Antwort:

7 teilt genau dann -2a + b + 10c + ... , wenn das Produkt 10·(-2a + b + 10c + ... ) = -20a + 10b + 100c + ... durch 7 teilbar ist. Bei der Division durch 7 haben zudem -20a und a den gleichen Rest, denn die Differenz -20a - a = -21a ist durch 7 teilbar. Daher ist a + 10b + 100c + ... genau dann durch 7 teilbar, wenn 7 die Zahl -2a + b + 10c + ... teilt. Das ist bereits der Beweis - die Regel gilt also uneingeschränkt.

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