Die halbe Strecke fährt ein Auto Tempo 50 und die andere Hälfte im Schnitt Tempo 150, dann beträgt insgesamt die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht 100, sondern 75 km/h:

Bemerkungen

Das harmonische Mittel der Zahlen a und b ist umso kleiner im Vergleich zum arithmetischen Mittel ½(a+b), je größer die Differenz a-b ist. Fährt man zum Beispiel die Hälfte eines Weges mit Tempo z+δ und die andere Hälfte mit Tempo z-δ, so weicht das mittlere Tempo v vom arithmetischen Mittel z um den Wert δ²/z ab.

Meist teilt sich ein Fahrweg S aber nicht genau in zwei gleiche Hälften mit nur zwei Geschwindigkeiten auf. Wir setzen jetzt also n ≥ 2 Teilstrecken S₁, S₂ ... S_n unter der einzigen Bedingung: S₁ + S₂ + ... + S_n = S voraus. Die entsprechenden Geschwindigkeiten bezeichnen wir mit v₁, v₂ ... v_n. Die Fahrzeit t beträgt dann S₁/v₁ + S₂/v₂ + ... + S_n/v_n. Damit erhalten wir das mittlere Tempo

v = S/(S₁/v₁ + S₂/v₂ + ... + S_n/v_n).

Diesen Quotienten bezeichnet man als das gewichtete harmonische Mittel der Zahlen v₁, v₂, ... v_n. Wir wollen aber wieder eine Darstellung finden, die unabhängig von der Strecke S ist. Daher dividieren wir den Zähler und den Nenner durch S, definieren q_k:= S_k/S für k = 1, 2 ... n und erhalten:

v = 1/(q₁/v₁ + q₂/v₂ + ... + q_n/v_n) ,  wobei stets gilt: ∑q_k = 1.

Fährt man zum Beispiel 30% einer Strecke mit Tempo 80, die Hälfte der Strecke mit Tempo 100 und den Rest mit Tempo 120, dann beträgt die mittlere Geschwindigkeit v = 1/(0,3/80 + 0,5/100 + 0,2/120) = 96.

Weg-Zeit-Aufgaben lassen sich nicht stets so locker lösen, wie es oben erscheint. So stellte der Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli (1667 - 1748) seinen europäischen Kollegen folgende Frage: Auf welcher Bahn rollt eine Kugel, allein von der Schwerkraft angetrieben, in minimaler Zeit von A zu einem schräg darunter liegenden Punkt B? (Die Reibung darf man dabei vernachlässigen.)

Erstaunlicherweise liefert nicht die gerade Verbindung, sondern der Ast einer gespiegelten Zykloide die gesuchte Bahn - man denke etwa an eine Achterbahn. Die Herleitung dieser Lösung, also der Kurve mit kürzester Laufzeit (Brachistochrone), erforderte seinerzeit enorme mathematische Intuition - heute findet man die Lösung mit Hilfe der Variationsrechnung erheblich einfacher.