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Die halbe Strecke fährt ein Auto Tempo 50 und die andere Hälfte im Schnitt Tempo 150, dann beträgt insgesamt die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht 100, sondern 75 km/h:

Harmonisches Mittel

Anfrage:  K. Barczyk, freenet
Das harmonischen Mittel von a und b ist durch xH = 2ab/(a+b) gegeben. Wo kann ich diese Formel anwenden?

Antwort:

Ein Fahrzeug durchfahre die Strecke S auf dem Hinweg mit Tempo v1 und auf dem Rückweg mit Tempo v2, dann beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit: v = Weg/Zeit = 2S / t. Die Fahrzeit t ist die Summe aus der Zeit t1 = S / v1 für die Hinfahrt und aus der Zeit t2 = S / v2 für die Rückfahrt. Daher ist

v = 2S / (S/v1 + S/v2) = 2·v1·v2 / (v1 + v2)

die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs.


Mathematik-Online, harmonisches Mittel


Bemerkungen:

Das harmonische Mittel der Zahlen a und b ist umso kleiner im Vergleich zum arithmetischen Mittel ½(a+b), je größer die Differenz a-b ist. Fährt man zum Beispiel die Hälfte eines Weges mit Tempo z+δ und die andere Hälfte mit Tempo z-δ, so weicht das mittlere Tempo v vom arithmetischen Mittel z um den Wert δ²/z ab.

Meist teilt sich ein Fahrweg S aber nicht genau in zwei gleiche Hälften mit nur zwei Geschwindigkeiten auf. Wir setzen jetzt also n ≥ 2 Teilstrecken S1, S2 ... Sn unter der einzigen Bedingung: S1 + S2 + ... + Sn = S voraus. Die entsprechenden Geschwindigkeiten bezeichnen wir mit v1, v2 ... vn. Die Fahrzeit t beträgt dann S1/v1 + S2/v2 + ... + Sn/vn. Damit erhalten wir das mittlere Tempo

v = S/(S1/v1 + S2/v2 + ... + Sn/vn).

Diesen Quotienten bezeichnet man als das gewichtete harmonische Mittel der Zahlen v1, v2, ... vn. Wir wollen aber wieder eine Darstellung finden, die unabhängig von der Strecke S ist. Daher dividieren wir den Zähler und den Nenner durch S, definieren qk:= Sk/S für k = 1, 2 ... n und erhalten:

v = 1/(q1/v1 + q2/v2 + ... + qn/vn) ,  wobei stets gilt: ∑qk = 1.

Fährt man zum Beispiel 30% einer Strecke mit Tempo 80, die Hälfte der Strecke mit Tempo 100 und den Rest mit Tempo 120, dann beträgt die mittlere Geschwindigkeit v = 1/(0,3/80 + 0,5/100 + 0,2/120) = 96.


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Weg-Zeit-Aufgaben lassen sich nicht stets so locker lösen, wie es oben erscheint. So stellte der Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli (1667 - 1748) seinen europäischen Kollegen folgende Frage: Auf welcher Bahn rollt eine Kugel, allein von der Schwerkraft angetrieben, in minimaler Zeit von A zu einem schräg darunter liegenden Punkt B? (Die Reibung darf man dabei vernachlässigen.)

gerade Verbindung  Teil einer gespiegelten Zykloide

Erstaunlicherweise liefert nicht die gerade Verbindung, sondern der Ast einer gespiegelten Zykloide die gesuchte Bahn - man denke etwa an eine Achterbahn. Die Herleitung dieser Lösung, also der Kurve mit kürzester Laufzeit (Brachistochrone), erforderte seinerzeit enorme mathematische Intuition - heute geht das mit Hlfe der Variationsrechnung etwas einfacher.
Themenliste Länge einer Kurve