Bemerkung
Wir befassen uns nun mit dem „Problem” des halbvollen Glases:
Hier ist die Füllhöhe h eines kegelförmigen Glases so zu bestimmen,
dass gilt:
½
·R²
·π·H/3 =
x²
·π·h/3.
Der Strahlensatz besagt: h/H = x/R, daher ist x = h
·R/H.
Somit können wir x² durch (h
·R/H)² ersetzen und erhalten
h/H = 2
-1/3. Ein kegelförmiges Glas ist also bei rund 80% Füllhöhe
halbvoll.
Wenn unser Glas jetzt ein Kegelstumpf ist - die skizzierte hellgraue Fläche ist dann massiv - entspricht
„halbvoll” der Gleichung
½
·(R²
·H - r²
·a)
·π/3
=
(x²
·h - r²
·a)
·π/3.
Daraus folgt:
H
·R² + a
·r² =
2h
·x².
Der Strahlensatz liefert: x = h
·r/a sowie
R/r = H/a und somit gilt: 2h³ = H³+a³. Ebenso zeigt der Strahlensatz:
a = H
·r/R =
r
·(H-a)/(R-r),
also gilt: H = (H-a)
·R/(R-r). Mit Hilfe
dieser Gleichungen und elementarer Umformungen erhalten wir nun den Quotienten aus
gesuchter und maximaler Füllhöhe:
Allein aus dem Verhältnis der beiden Radien kann man somit ermitteln,
wann ein Kegelstumpf zur Hälfte gefüllt ist, wie etwa
beim rechts dargestellten Glas. Der obere Radius R ist hier
ungefähr fünfmal größer als der untere Radius r. Folglich beträgt unser Quotient
(h-a)/(H-a) zirka (63
1/3-1)/4, also rund 3/4.
Der gegebene Pegelstand liegt aber offensichtlich unterhalb der erforderlichen 75% der
maximalen Füllhöhe.
Im Widerspruch zum spontanen optischen Eindruck ist
unser Glas daher weniger als halbvoll.
Dagegen konvergiert für R/r → 1
(Zylinder) der Quotient (h-a)/(H-a) natürlich gegen ½.