Der Inhalt eines Kegels passt genau dreimal in den Zylinder mit gleicher Höhe H und Radius R hinein.
Folglich hat der Kegel das Volumen V =
R²·π·H/3.
Per Strahlensatz erhält man nun den Inhalt vom Kegelstumpf:
Der gesamte Kegel hat das Volumen V = R²·π·H/3 und der Strahlensatz liefert H = hR/R-r. Somit ist V = R³·π·h/3(R-r).
Die Kegelspitze hat das Volumen v = r²·π·(H-h)/3. Wegen (H-h)/H = r/R gilt also: v = r³·π·h/3(R-r). Das Volumen V-v des Kegelstumpfes beträgt folglich: (R³-r³)·π·h/3(R-r) = (R² + r·R + r²)·π·h/3.
Bemerkung
Wir zeigen jetzt, dass ein Kreiskegel mit Radius R und Höhe H tatsächlich den Rauminhalt V = R²·π·H/3 hat. Wir füllen den Kegel mit n maximalen Zylindern der Höhe H/n auf und projizieren ihn in die x-y-Ebene.Der kleinste Zylinder beginnt in der Kegelspitze (an der Stelle x = 0) und hat den Radius f(0) = 0. Daran grenzt der Zylinder mit Radius f(1·H/n). Der nächste Zylinder hat den Radius f(2·H/n). So fortfahrend enden wir beim Radius f((n-1)·H/n). Die Summe s(n) aller Zylinderinhalte beträgt:
Wir wählen hier die Bezeichnung s(n), weil diese Summe von der Zahl n abhängt. Unsere Zylinder werden nämlich mit steigender Anzahl n stets flacher, wodurch jede einzelne Lücke zwischen Kegelmantel und Zylinder schrumpft. Andererseits gibt es dann aber immer mehr Zwischenräume - daher stellt sich die Frage, ob die Anzahl oder die Winzigkeit der Lücken entscheidend ist:
Weil der Kegel innerhalb der Zylinderreihe liegt, erhalten wir für alle n die Abschätzung: S(n) ≥ V. Ferner sieht man sofort, dass die Folge der S(n) gegen den Grenzwert G = R²·π·H/3 konvergiert. Damit ist g = G und wegen s(n) ≤ V ≤ S(n) gilt zudem: g ≤ V ≤ G. Daraus folgt schließlich die gesuchte Gleichung: V = R²·π·H/3.
ermitteln können. Es führt aber kein Weg an unserer obigen Darstellung vorbei, wenn man die Inhaltsbestimmung per Integralrechnung wenigstens in den Grundzügen verstehen möchte.