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In diesem Beitrag befassen wir uns mit der Eulerschen Formel, also vor allem mit unendlichen Reihen. Wenn man die nach Leonhard Euler (1707 - 1783) benannte Formel

ei·y = cosy + i·siny

betrachtet, stellt sich zuerst die Frage, wie der Ausdruck ei·y eigentlich definiert ist. Um das zu klären, entwickeln wir die reelle Exponentialfunktion x ι→ ex (e-Funktion) mit Hilfe des Taylorschen Satzes in die Exponentialreihe 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + x4/4! + ... Diese Potenzreihe konvergiert absolut, auch wenn wir statt reeller Zahlen beliebige komplexe Zahlen z einsetzen (das folgt sofort aus dem Quotientenkriterium). Mit den komplexen Gliedern setzen wir nun die Exponentialreihe ins “Komplexe” fort und definieren die komplexe Exponentialfunktion
z ι→ ez := 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + z4/4! + ... ; daraus folgt:
ei·y = 1 + i·y/1! + (i·y)2/2! + (i·y)3/3! + (i·y)4/4! + ...
Mit (i·y)2n = (-1)n·y2n und (i·y)2n+1 = (-1)n·i·y2n+1 (n ∈ IN) können wir dann Eulers berühmte Formel herleiten, die übrigens für alle komplexen Zahlen gilt. Es genügt hier aber, nur den imaginären Exponenten i·y zu betrachten, also y als reell vorauszusetzen - wie (implizit) in folgender Fragestellung:

Eulersche Formel

Anfrage: Jonas W., Essen
Warum ist der Imaginärteil von ei·y gleich siny? Jeder Abiturient mit Mathe LK weiß, dass dies mit der Eulerschen Formel begründet werden kann. Aber wie kommt man auf diese Formel? Ich selbst bin Informatiker, jedoch verblieb diese Frage für mich stets im Dunkeln.

Antwort:
ei·y ist durch die unendliche Reihe
1 + i·y/1! + (i·y)2/2! + (i·y)3/3! + (i·y)4/4! + ...
gegeben. Aus den Relationen i² = -1, i³ = -i, i4 = 1 ... und einer Umordnung (!) der Glieder folgt dann:
ei·y = ( 1 - y²/2! + y4/4! - ... ) + i·( y/1! - y³/3! + ... ).

In der ersten Klammer steht die Taylorsche Entwicklung von cosy und in der zweiten Klammer die Entwicklung von siny.

Anmerkungen:

Die Eulersche Formel, eine der erstaunlichsten Formeln überhaupt, ergibt sich also fast unmittelbar aus den Reihendarstellungen von ei·y, cosy und siny, wobei die Potenz ei·y ohne die Exponentialreihe gar nicht erklärt wäre. Das lässt die Bedeutung von Reihen in der Mathematik erahnen - allerdings kann die Umsortierung der Glieder tückisch sein. Daher haben wir in unserer Antwort den Begriff “Umordnung” mit einem Ausrufezeichen markiert, auch wenn es bei der Exponentialreihe damit keinesfalls ein Problem gibt, weil sie absolut konvergiert (siehe oben). Man muss aber nicht lange suchen, um ein problematisches Beispiel zu finden. So konvergiert die (unendliche) alternierende Reihe

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...

gegen 0,693... Jetzt ordnen wir die Reihe derart um, dass jedem positiven Glied zwei negative folgen:

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

Hierdurch geht kein Glied verloren und keines kommt hinzu - dennoch haben wir viel mehr als nur die Anordnung der Glieder verändert. Wenn wir nämlich die Klammern auflösen, ergibt sich die Reihe

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + ....

= 1/2·(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... ).

Offensichtlich haben wir den Grenzwert durch das Umsortieren der Glieder halbiert. Dieses merkwürdige Konvergenzverhalten begründet sich darin, dass unsere Reihe nicht absolut konvergiert, also die Reihe der Beträge

|1| + |-1/2| + |1/3| + |-1/4| + |1/5| + |-1/6| + ...

= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... (harmonische Reihe)

divergiert - wir können hier einfach der Reihe nach 2k   k = 0, 1, 2, 3 ... Glieder so zusammenfassen, dass jedes Glied in genau einer Klammer steht:
(1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) + (1/8 + ... + 1/15) + ...
Die Summe aus jeder Klammer ist also stets größer als 2k·1/2k+1 = 1/2, und das wiederholt sich unendlich oft.

Für unsere alternierende Reihe kann man mühelos weitere Umordnungen mit ganz unterschiedlichen Grenzwerten finden. Bernhard Riemann (1826 - 1866) hat sogar gezeigt, dass jede konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert, immer eine Umordnung besitzt, die gegen eine beliebig vorgegebene Zahl konvergiert.
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