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Die Eulersche Formel eiy = cosy + i·siny ergibt sich aus der komplexen Exponentialfunktion
z ι→ ez := 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + z4/4! + ...
mit z = x + iy, x = 0 und den Relationen
(i·y)2n = (-1)n·y2n, (i·y)2n+1 = (-1)n·i·y2n+1.

Eulersche Formel

Frage
Warum ist der Imaginärteil von eiy gleich siny? Jeder Abiturient mit Mathe LK weiß, dass dies mit der Eulerschen Formel begründet werden kann. Aber wie kommt man auf diese Formel? Ich selbst bin Informatiker, jedoch verblieb diese Frage für mich stets im Dunkeln.

Antwort
eiy ist durch die Exponentialreihe
1 + i·y/1! + (i·y)2/2! + (i·y)3/3! + (i·y)4/4! + ...
gegeben. Weil diese Reihe für alle y absolut konvergiert, darf man die Glieder passend umordnen - und mit den Relationen
i² = -1, i³ = -i, i4 = 1 ... folgt dann
eiy = ( 1 - y²/2! + y4/4! - ... ) + i·( y/1! - y³/3! + ... ).

In der ersten Klammer steht die Reihenentwicklung von cosy und in der zweiten Klammer die Entwicklung von siny.

Anmerkung

Für y = π erhält man mit der Eulerschen Formel die Gleichung
eiπ = -1.
Die fundamentalen Zahlen der Mathematik: e, π und i = √-1 verbinden sich hier also auf denkwürdige Weise zur ganzen Zahl -1.
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