Die Eulersche Zahl e = 2,718... ist irrational und hat damit unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
Das lässt sich problemlos mit der Taylorentwicklung e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... und dem zugehörige Lagrangeschen Restglied zeigen:
Eulersche Zahl
Frage
Wie kann bewiesen werden, dass e irrational ist?
Antwort
Angenommen, e wäre eine rationale Zahl, dann gäbe es natürliche Zahlen p, q mit e = p/q.
Es sei n0 = max{q , 3}, dann ist
e·n0!
eine ganze Zahl. Ferner liefert die Taylorsche Formel (mit dem Lagrangeschen Restglied) die Gleichung:
e = 1 + 1 + 1/2! + ... + 1/n0! +
eμ / (n0 + 1)!. Daher gilt:
e·n0! -
[2·n0!
+
(3·...·n0) + ... + 1]
= eμ / (n0+ 1) mit 0 < μ < 1.
Die linke Seite der Gleichung ist ganzzahlig, weil nach obiger Voraussetzung
e·n0! eine ganze Zahl ist.
Daher muss auch die rechte Seite
eμ / (n0 + 1)
eine ganze Zahl sein. Wegen der evidenten Relationen 0 < eμ < e < 3 erhalten wir nun die
dazu widersprüchliche Aussage:
0 < eμ / (n0 + 1) < 3/4.
Bemerkung
Leonhard Euler
1707 - 1783
Die Eulersche Zahl ist nach Leonhard Euler benannt, der e als Basis des natürlichen Logarithmus einführte.
Euler war für die Entwicklung der Analysis im 18. Jahrhundert von überragender Bedeutung.
Dabei hatte der Schweizer ein heiteres Wesen, dreizehn Kinder und einen anschaulichen Schreibstil.
Er wollte andere nicht beeindrucken, sondern verstanden werden. Folgende Überlieferung spricht zudem für seinen Humor:
Am Hof von St. Petersburg verkündete der französische Aufklärer Diderot den
Atheismus und man forderte ihn zu einem Disput mit Euler auf, der
in der Stadt eine Akademie leitete. Vor
versammeltem Hof wandte sich Euler mit freundlichem Gesicht an den Franzosen:
„Monsieur, es ist a + b
n/n = x,
also existiert Gott; antworten Sie!” Diderot war sprachlos, wurde ausgelacht und
reiste Hals über Kopf
nach Frankreich zurück.
