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Mathematik-Online, Integrationstheorie


Das Riemann-Integral berechnet man anhand von Zerlegungen des Definitionsbereichs einer Funktion in Intervalle, ohne bei den Unterteilungen den Graphen der Funktion zu berücksichtigen. Dagegen wird beim Lebesgue-Integral zuerst der Bildbereich passend zum Funktionsgraphen in Intervalle unterteilt. Die Urbildmengen dieser Intervalle zerlegen den Definitionsbereich im Unterschied zum Riemann-Integral nicht nur in Intervalle, sondern in maßgeschneiderte Mengen, etwa in rationale und irrationale Zahlen. Auf diese Weise sind natürlich mehr Funktionen integrierbar.

Der praktische Vorteil des Lebesgue-Integrals liegt vor allem darin, dass sich Grenzwert und Integral unter schwächeren Voraussetzungen als beim Riemann-Integral vertauschen lassen. Die Werte beider Integrale stimmen aber überein, wenn eine Funktion sowohl Riemann-integrierbar als auch Lebesgue-integrierbar ist.

Riemann-Integral und Lebesgue-Integral

Fragestellung
Wie hängen Riemann- und Lebesgue-Integral zusammen?

Antwort
Jede eigentlich Riemann-integrierbare* Funktion ist Lebesgue-integrierbar und die Integralwerte stimmen überein. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa die Dirichletfunktion zeigt.

Der Zusammenhang zwischen dem uneigentlichen Riemann-Integral und dem Lebesgue-Integral ergibt sich wie folgt: Es sei I ⊂ IR ein beliebiges Intervall und f: I → IR über jedes kompakte Teilintervall von I Riemann-integrierbar*. Die Funktion f ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn |f| uneigentlich Riemann-integrierbar über I ist. Die Werte beider Integrale stimmen dann überein.

*Eine beschränkte Funktion auf einem kompakten Intervall ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist (die Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden).


Anmerkungen

Eine beschränkte Funktion f: [a,b] → IR ist also auf jeden Fall Riemann-integrierbar, wenn sie abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat. Anhand des Cantorschen Diskontinuums kann man sogar Funktionen mit überabzählbar vielen Unstetigkeitsstellen konstruieren, die Riemann-integrierbar sind.

Mit ähnlichen Konstruktionen kann man auch zeigen, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nicht auf das Lebesgue-Integral (L-I) übertragbar ist. Es lässt sich zwar ein eingeschränkter Hauptsatz für das L-I formulieren, aber für das grundlegende Verständnis der Integrationstheorie ist das nicht erforderlich. Das folgende einfache Beispiel zeigt, wie man vorgehen kann, wenn sich das L-I nicht direkt aus dem R-I ergibt oder genaues Hinschauen nicht weiterhilt:

Die Lebesgue-integrierbare Funktion f: [0, π] → IR mit f(x) = 3 für rationale x und f(x) = sinx für irrationale x ist überall unstetig und daher nicht Riemann-integrierbar.
Wir betrachten nun g: [0, π] → IR mit g(x) = sinx. Dann gilt f = g fast überall und somit sind die Lebesgue-Integrale von f und g gleich. Die Funktion g ist stetig und daher Riemann-integrierbar und mit dem Hauptsatz für das R-I ergibt sich der Wert -cosπ + cos0 = 2. Das L-I von g hat den gleichen Wert wie das R-I von g, folglich hat auch das L-I von f den Wert 2.
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