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Mathematik-Online, Integrationstheorie


Das Riemann-Integral berechnet man anhand von Zerlegungen des Definitionsbereichs einer Funktion in Intervalle, ohne bei den Unterteilungen den Graphen der Funktion zu berücksichtigen. Dagegen wird beim Lebesgue-Integral zuerst der Bildbereich passend zum Funktionsgraphen in Intervalle unterteilt. Die Urbildmengen dieser Intervalle zerlegen den Definitionsbereich im Unterschied zum Riemann-Integral nicht nur in Intervalle, sondern in maßgeschneiderte Mengen, etwa in rationale und irrationale Zahlen. Auf diese Weise sind natürlich mehr Funktionen integrierbar.

Der praktische Vorteil des Lebesgue-Integrals liegt vor allem darin, dass sich Grenzwert und Integral unter schwächeren Voraussetzungen als beim Riemann-Integral vertauschen lassen. Die Werte beider Integrale stimmen aber überein, wenn eine Funktion sowohl Riemann-integrierbar als auch Lebesgue-integrierbar ist.

Riemann-Integral und Lebesgue-Integral

Frage
Wie hängen Riemann- und Lebesgue-Integral zusammen?

Antwort
Jede eigentlich Riemann-integrierbare* Funktion ist Lebesgue-integrierbar und die Integralwerte stimmen überein. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa die Dirichletfunktion zeigt.

Der Zusammenhang zwischen dem uneigentlichen Riemann-Integral und dem Lebesgue-Integral ergibt sich wie folgt: Es sei I ⊂ IR ein beliebiges Intervall und f: I → IR über jedes kompakte Teilintervall von I Riemann-integrierbar*. Die Funktion f ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn |f| uneigentlich Riemann-integrierbar über I ist. Die Werte beider Integrale stimmen dann überein.

*Eine beschränkte Funktion auf einem kompakten Intervall ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist (die Unstetigkeitsstellen eine λ-Nullmenge bilden).


Anmerkungen

Eine beschränkte Funktion f: [a,b] → IR ist also Riemann-integrierbar, wenn sie höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat. Man kann anhand des Cantorschen Diskontinuums sogar eine Riemann-integrierbare Funktion mit überabzählbar vielen Unstetigkeitsstellen konstruieren. Damit lässt sich auch zeigen, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nicht ohne weiteres auf das Lebesgue-Integral übertragbar ist.

Zum Schluss legen wir noch einmal kurz den prinzipiellen Unterschied zwischen dem Riemann- und dem Lebesgue-Integral dar:
Im Gegensatz zum Riemann-Integral kann der Definitionsbereich einer Funktion beim Lebesgue-Integral nicht nur in Intervalle, sondern in beliebige messbare Mengen zerlegt werden.
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