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Domino-Puzzle

Anfrage: P. Bruck
Ein Dominostein überdeckt genau zwei quadratische Felder von einem Schachbrett. Mit 32 Steinen lassen sich 64 Felder also exakt abdecken. Jetzt wird links oben und rechts unten jeweils ein weißes Feld entfernt. Kann man die verbleibenden 62 Felder mit 31 (ganzen) Steinen lückenlos überdecken? Die Steine dürfen beliebig ausgerichtet werden.
30 weiße und 32 graue Felder

Antwort
Damit keine Lücken bleiben, müsste jeder Stein genau auf einem grauen und einem weißen Feld liegen. Das ist aber nicht möglich, weil mehr graue als weiße Felder existieren. Es gibt somit keine lückenlose Überdeckung.


Anmerkung
Weil die 31 Steine zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die 62 Felder haben, darf kein Stein über den Brettrand hinausragen. Damit nun etwa in der Ecke unten links keine Lücke bleibt, muss ein Stein exakt auf dieser Ecke liegen. Angefangen bei den benachbarten Steinen müsste also auch jeder weitere Stein genau auf einem grauen und einem weißen Feld liegen.


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Elfmeter-Duell

Anfrage: Julian Mayr
Mario und Marco trainieren Elfmeterschießen, wobei Mario zuerst antreten darf, weil er durchschnittlich nur einen von drei Elfmetern versenkt, während Marco doppelt so häufig trifft. Es wird solange geschossen, bis einer von beiden trifft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mario gewinnt?

Antwort
Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von Mario bezeichnen wir mit p, dann gilt: p = 1/3 + 2/3·1/3·p, also ist p = 3/7.


Anmerkung
Die Gleichung für p ergibt sich wie folgt: Mario trifft entweder mit der W-keit 1/3 beim ersten Schuss oder er trifft nicht (W-keit 2/3), womit Marco an der Reihe ist und ebenfalls nicht trifft (W-keit 1/3). Nun haben wir wieder die Situation, dass Mario zuerst schießt und mit der W-keit p gewinnt.

Wenn dagegen zwei Spieler A, B mit derselben W-keit q > 0 erfolgreich sind (etwa q = 1/2 beim Münzwurf), dann gewinnt der beginnende Spieler A mit der W-keit p = q + (1-q)²p, folglich ist p = 1/(2-q). Spieler B gewinnt mit der W-keit 1-p und es gilt: 1-p = (1-q)p, weil Spieler A mit der W-keit 1-q einen Fehlversuch hat und B dann die Rolle von A übernimmt.

Eine maximale Anzahl an Wiederholungen ist hierbei nicht festgelegt. Das Ereignis "keiner gewinnt" hat somit die W-keit ε=0, sonst wäre nämlich ε >0 und ε ≤ (1-q)n für alle n. Wegen 0 ≤ (1-q) < 1 existiert aber zu ε > 0 eine natürliche Zahl m(ε), so dass für alle n ≥ m(ε) gilt: (1-q)n < ε.


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Glückslos

Frage
In einer Spielshow soll ein Kandidat erraten, welcher der beiden Quizmaster das Glückslos mit einer Millionen Euro in der Tasche hat. Der Kandidat darf zuvor einem der Quizmaster eine Frage stellen, auf die nur mit JA oder NEIN geantwortet wird. Einer der Quizmaster ist ein Lügner, der jede Frage des Kandidaten falsch beantwortet. Der Kandidat weiß aber nicht, wer von beiden das ist. Welche Frage sollte der Kandidat stellen ?

Antwort

Die geeignete Frage lautet etwa: Hat der Lügner das Los? Der Befragte hat genau dann das Los, wenn er NEIN sagt.



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Wasser umfüllen

Anfrage: totti25872, yahoo
Aus einem Gefäß mit einer quadratischen Grundfläche von 600 cm² soll so viel Wasser in ein Gefäß mit 400 cm² quadratischer Grundfläche gegossen werden, dass der Wasserspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. Momentan steht der Wasserspiegel im Gefäß mit der größeren Grundfläche 5 cm höher. Durch Probieren gelangt man schnell zu dem Ergebnis, dass der Wasserspiegel um 2 cm verringert werden muss. Wie kann ich das jedoch in einer Gleichung zum Ausdruck bringen?

Antwort

Das Umfüllen der Wassermenge V verändert die Pegelstände der beiden Quader um die Beträge h und H, wobei gefordert ist: 5-h = H. Wegen h = V/600 und H = V/400 erhalten wir daraus die Gleichung: 5 - V/600 = V/400. Somit ist V = 1200 und h = 1200/600 = 2.



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Prozentrechnung

Anfrage: Julia Pahl
Zu Beginn eines Eiertransports sind 99% der Eier weiß, die restlichen sind braun. Während der Fahrt gehen nur weiße Eier zu Bruch, so dass ihr Anteil auf 98% sinkt. Wie viele der Eier (Prozent) sind zerbrochen?

Antwort

Die Anzahl der braunen Eier bleibt gleich und ihr Anteil an der Gesamtmenge verdoppelt sich. Die Gesamtmenge hat sich daher halbiert - es sind also 50% zerbrochen.



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Ternärsystem

Anfrage: F. Koenigsberger, hs-plain
Ist es möglich, mit zehn Zahlen alle natürlichen Zahlen von 1 bis 29.524 nur durch Addition und Subtraktion zu erzeugen? Jede dieser zehn Zahlen darf dabei höchstens einmal vorkommen!

Antwort

Die zehn Zahlen sind 30, 31 ... 39. Bei wiederholter Division durch 3 kann man nämlich alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Form a9·39 + a8·38 + ... + a0·30 schreiben, wobei die ai jeweils die Reste der Division durch 3 sind, also für die Zahlen 0, 1 oder 2 stehen.

Jetzt stören noch die Zweien. Es gilt aber: 2·3k = (3-1)·3k = 1·3k+1 - 1·3k. Wir ersetzen also 2·3k durch (1+ak+1)·3k+1 - 1·3k und erhalten damit keine größere Potenz als 39, weil für alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Darstellung zu jedem ai = 2 stets ein aj = 0 existiert mit i < j ≤ 9.

Zum Beispiel bestimmen wir für die Dezimalzahl 25.105 zuerst die ternäre Darstellung 1.021.102.211 und ersetzen nun die letzte 2 (= a2) durch -1, dann a3 = 2 durch 0 und a4 = 0 durch die 1. So fortfahrend erhalten wir 1.1-11.110.-111. Daher gilt: 25.105 = 39 + 38 - 37 + 36 + 35 + 34 - 32 + 31 + 30.
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