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Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten sollte man sich nicht auf die Intuition verlassen:

Ziegenproblem (Monty Hall Problem)

Frage
In einer Spielshow steht ein Kandidat vor drei verschlossenen Türen. Eine Tür verbirgt den Hauptgewinn, hinter den beiden anderen sind Ziegen versteckt. Der Kandidat zeigt auf eine der Türen, der Spielleiter (er kennt den Inhalt der Türen) öffnet dann gemäß der Spielregel eine der beiden anderen Türen, um eine Ziege zu präsentieren. Der Kandidat darf nun seine Wahl ändern. Steigt damit seine Gewinnchance ?

Antwort

Wählt der Kandidat zuerst die Gewinntür (Wahrscheinlichkeit p = 1/3), so verliert er bei Änderung seiner Auswahl. Steht aber hinter der anfangs gewählten Tür eine Ziege (p = 2/3), dann ist der Wechsel zur verbleibenden Tür stets erfolgreich.

Die Gewinnchance bei einem Türwechsel beträgt somit 2/3, andernfalls 1/3.


Mathematik-Online, Ziegenproblem


Der Clou des Ziegenproblems liegt darin, dass die Bedingung (also das Öffnen einer Ziegentür durch den Spielleiter) das sichere Ereignis ist, weil hinter mindestens einer von jeweils zwei Türen immer eine Ziege steht. Es ist dagegen eine (echte) bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn der Spielleiter per Zufall eine Tür öffnet, hinter der dann eine Ziege steht:

Ziegenparadoxon

Frage
In einem Forum wurde unlängst die Frage diskutiert, ob die Wechselstrategie beim Ziegenproblem auch dann günstiger sei, wenn der Spielleiter rein zufällig unter den beiden verbleibenden Türen eine Niete auswählt. Ich war auf Seite derer, die beharrlich argumentierten, dass die Chance des Kandidaten auch in diesem Fall bei einem Türwechsel steige. An der Wahrscheinlichkeit p = 2/3, dass der Kandidat zuerst eine Niete wählt, hat sich ja nichts geändert. Zum Schluss wollte ich meinen Standpunkt mit einem kleinen programmierten Skript endlich beweisen. Ich staunte fassungslos, als der Computer mein Gedankenmodell widerlegte.

Wie ist dann aber die folgende Situation zu erklären: In der 1. Spielrunde wählt der Kandidat zunächst Tür 1, der Spielleiter (er weiß, was sich hinter den Türen befindet) öffnet Tür 2 und zeigt eine Ziege. Die Gewinnchance für die verbleibende Tür 3 beträgt somit 2/3.

Etwas später werden für die 2. Spielrunde wieder zwei Ziegen und ein Gewinn zufällig auf die drei Türen verteilt. Der Kandidat zeigt wie gehabt auf Tür 1, der Spielleiter (er weiß diesmal nicht, was sich hinter den Türen befindet) öffnet wie zuvor Tür 2 mit einer Ziege dahinter. Die Gewinnchance für Tür 3 beträgt jetzt aber nur noch 1/2.

Für mich ist das ein sehr bemerkenswertes Paradoxon!

Antwort

In beiden Spielen zeigt der Kandidat zuerst zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 auf eine Niete. Das Öffnen einer Ziegentür ist in Runde 2 aber nicht das sichere Ereignis. Damit ist hier im Gegensatz zu Spielrunde 1 eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die tatsächlich 1/2 beträgt.



Mathematik-Online, Münzenparadoxon


Ebenso erstaunlich ist das folgende Münzenparadoxon:

Münzenparadoxon
Zwei Spieler A und B werfen eine Münze, bis die von A getippte Sequenz: Zahl, Wappen, Zahl (ZWZ) oder die von B getippte Sequenz ZZW fällt. Beispielsweise gewinnt A im Fall WWZWZ, B gewinnt etwa beim Spielverlauf WWZZW. Haben beide Spieler die gleiche Gewinnchance? Die überraschende Antwort lautet: Die Chance für Spieler A ist erheblich kleiner als für Spieler B.

Das Spiel endet nämlich allein dann, wenn irgendwann Z fällt - A gewinne mit der Wahrscheinlichkeit pA, dann gilt: pA = P(WZ) + P(WW) · pA. Hieraus folgt: pA = 1/4 + 1/4 · pA und daher gilt: pA = 1/3. Es gibt sogar zu jeder Dreier-Sequenz eine optimale Entgegnung mit einer mindestens doppelt so großen Gewinn-Wahrscheinlichkeit.
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