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            Zeno der Eleate

Der berühmte Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte geht auf den griechischen Philosophen Zeno von Elea (490 - 425 v. Chr.) zurück. Obwohl Achilles viel schneller als seine Gegnerin ist, kann er sie scheinbar niemals einholen:

Achilles und die Schildkröte

Anfrage: Philipp Jahn
Worum geht es beim Lauf zwischen Achilles und der Schildkröte?

Antwort:

Der flinke Achilles gibt einer Schildkröte einen Meter Vorsprung und holt sie anscheinend niemals ein, obwohl er das k-fache Tempo seiner Gegnerin läuft. Sie ist nämlich 1/k Meter weitergelaufen, wenn Achilles ihre Startposition erreicht. Legt er jetzt diese 1/k Meter zurück, so kommt die Schildkröte 1/k² Meter voran. Das setzt sich endlos fort und ergibt die Reihe
1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... ad infinitum.

Der griechische Philosoph Zeno glaubte offenbar, dass diese Reihe nicht konvergiert und Achilles damit den Wettlauf mathematisch gesehen verliert, egal wie schnell er ist.

Das lässt sich aber leicht klären: Wenn Achilles schneller als die Schildkröte läuft, ist k größer als 1. Zenos geometrische Reihe hat also den Grenzwert  k/k-1.

Bemerkung:

Der Grenzwert k/k-1 ergibt sich wie folgt: Wir bilden die Partialsumme Sn:= 1 + 1/k + 1/k² +  ...  + 1/kn und berechnen die Differenz Sn - Sn/k = 1 - 1/kn+1. Daraus folgt: Sn = (1 - 1/kn+1)/(1- 1/k). Für k > 1 strebt die Folge der Quotienten mit n → ∞ gegen 1/(1 - 1/k) = k/k-1.

Zum Beispiel konvergiert für k = 10 die Reihe gegen die Zahl 10/9. Dieses Resultat erhält man natürlich auch anhand der Dezimalbruchentwicklung: 1+1/10+1/10²+... = 1 + 0,1 + 0,01 + ... = 1,1.

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