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  Issac Newton, der britische Titan des Geistes.

Isaac Newton
1642 - 1727

Die Nullstellen vieler Funktionen lassen sich nicht vollkommen exakt bestimmen - zum Beispiel kann niemand genau sagen, wie die Nullstellen von f(x) = x5 + 4x4 - 2 lauten (die Galoisgruppe von f ist nämlich nicht auflösbar). Dennoch ist es möglich, quasi beliebig viele Kommastellen der gesuchten Zahlen numerisch zu berechnen - etwa mit folgender Methode, die auf Newton zurückgeht:


Der Brite hatte die Idee, Tangenten an die Funktion zu legen, die Nullstellen der Tangenten zu berechnen und so immer näher an eine Nullstelle der Funktion heranzurücken - Newton musste dann nur lineare Gleichungen lösen. Wir zeigen jetzt, wie man auf diese Weise Wurzeln ziehen kann:

Wurzelziehen mit Newton

Anfrage:  „singing.doc”, t-online
Gibt es ein allgemeines Verfahren, mit dem sich die zweite, dritte, vierte Wurzel etc. berechnen lässt?

Antwort:

Die Dezimalbruchentwicklung der n-ten positiven Wurzel aus c kann man mit dem Newtonverfahren berechnen. Wir wählen irgendeine Startzahl x0 > 0 und konstruieren:

x1 = [(n-1)·xn0  + c] / n·xn-10    

 .
 .
 .

xk+1 = [(n-1)·xnk  + c] / n·xn-1k    

Diese Zahlenfolge konvergiert gegen die gesuchte Wurzel. Im Fall c > 1 erhalten wir die großzügige Fehlerabschätzung:

|xk - nc|   ≤   |xnk - c| / n .



Mathematik-Online, Newtonverfahren


Bemerkung:

Mit dem obigen Algorithmus erhalten wir die Dezimalbruchentwicklung der Quadratwurzel aus c durch die Iterationsvorschrift: xk+1 = ½·(xk + c/xk). Beispiel: Wir berechnen 5 und starten mit der Zahl x0 = 2. Somit ist x1 = 9/4 und x2 = 161/72. Die Fehlerabschätzung ergibt: |x2 - 5| < 1/104. Daher liegt 5 zwischen 161/72 - 1/104 = 2,2360... und 2,2363. Wir haben hier also mit zwei Iterationsschritten die Zahl 5 auf jeden Fall bis zur dritten Stelle nach dem Komma exakt bestimmt.

Beim Wurzelziehen wird das Newtonverfahren einfach auf die Funktion f(x) = xn - c angewandt. Wir zeigen nun, wie dieses Verfahren allgemein abläuft: Es ist also eine reelle Nullstelle irgendeiner Funktion f gesucht. Damit wir das Newtonverfahren überhaupt anwenden können, muss f differenzierbar sein. Jetzt bestimmen wir etwa durch „genaues Hinsehen” zwei Zahlen a und b, so dass f(a)·f(b) negativ ist. Zwischen a und b liegt dann mindestens eine reelle Nullstelle ξ von f. Wir wählen ein x0 aus dem Intervall [a, b] mit f'(x0) ≠ 0 und legen an f im Punkt (x0, f(x0)) die Tangente an - diese Gerade hat die Nullstelle x1:= x0 - f(x0)/f'(x0). Genauso bestimmen wir die Nullstelle x2 der Tangente im Punkt (x1, f(x1)) und fahren so fort. Wenn f auf [a, b] streng monoton und konvex oder konkav ist (in unserem elementaren Rahmen ist diese Charakterisierung hinreichend), existiert die (Newton-) Folge der Tangenten-Nullstellen x1, x2, ... , xk+1:= xk - f(xk)/f'(xk) und strebt gegen die Nullstelle ξ. Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich die Fehlerabschätzung:

|xk - ξ|   ≤   |f(xk)| / μ mit μ:= min |f'(x)| für x ∈ [a, b].

An der Funktion f(x) = x4 - 6x² - 11 sieht man bereits, dass die Newtonfolge tatsächlich divergieren kann, wenn f nicht alle obigen Bedingungen erfüllt. Wegen f(1)·f(3) < 0 hat f zwar im Intervall [1, 3] mindestens eine Nullstelle; die Startzahl x0 = 1 liefert jedoch die divergente Newtonfolge -1, 1, -1 , 1 ...
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