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Italienische Mathematiker entwickelten im 16. Jahrhundert systematische Verfahren zur Auflösung aller Gleichungen bis einschließlich vierten Grades. Nun möchte man meinen, dass im Laufe der Zeit auch für Gleichungen höheren Grades entsprechende Formeln gefunden wurden - solche Formeln wird es jedoch niemals geben! So ist es etwa nicht möglich, die Gleichung x5 + 4x4 - 2 = 0 nach x aufzulösen. Bevor wir das erläutern, lösen wir eine Gleichung vierten Grades auf spezielle Weise:

Gleichungen und Galoistheorie

Anfrage: irz.inf.tu-dresden
Für das Polynom f(x) = x4+x3+x2+x+1 finde ich keine Nullstelle, auch nicht durch Probieren oder mit Substitutionen. Gibt es noch andere Ansätze? Die Nullstellen müssten doch komplex sein?

Antwort:

Die Nullstellen von Polynomen 4. Grades kann man notfalls mit der Formel von Ferrari exakt bestimmen - hier geht es jedoch einfacher, weil es sich um das fünfte Kreisteilungspolynom handelt, dessen Nullstellen xk (k = 1, 2, 3, 4) die sogenannten primitiven fünften Einheitswurzeln ei2kπ/5 sind.

Daraus folgt: x1 = cos2π /5 + i·sin2π/5 = -¼ + ¼· + i·5/8 + Wurzel(5/64), und x2 ist das Quadrat dieser Zahl. Durch Konjugation erhält man nun sofort x3 und x4.


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Bemerkungen:

  Die 5 fünften Wurzeln der Zahl 1.

Die fünf Lösungen
der Gleichung x5 = 1.

Obige Nullstellen konnten wir sofort finden, weil in der Gaußschen Zahlenebene die fünf Lösungen der Gleichung x5 = 1 den Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1 in fünf gleichlange Bogenstücke aufteilen, angefangen bei der einzigen reellen Lösung x = 1. Die Division x5-1 : x-1 = x4+x3+x2+x+1 = f(x) liefert uns daher für das besagte Polynom f die rechts skizzierten vier nichtreellen Nullstellen, die sich mit Hilfe der Eulerschen Formel auch in die Form cos2kπ/5 + i·sin2kπ/5 mit k = 1, 2, 3, 4 darstellen lassen.

Wir können diese trigonometrische Zahlendarstellung sogar recht einfach durch Radikale ersetzen. Wegen 0 = sin2π = sin(5·2π/5) folgt nämlich per Additionstheorem: 0 = 16·sin52π/5 - 20·sin32π/5 + 5·sin2π/5. Daher ist sin2π/5 Nullstelle des Polynoms g(x) = 16x4-20x2+5 (das wir mittels z:=x2 zerlegen). Ebenso folgt, dass auch die Zahl sin4π/5 eine Nullstelle von g ist. Wegen der offensichtlichen Relationen: sin2π/5 > sin4π/5 > 0 stimmt die kleinere der zwei positiven Nullstellen 5/8 ± Wurzel(5/64) von g mit sin4π/5 überein und die größere mit sin2π/5. Die beiden zugehörigen Realteile cos2π/5 und cos4π/5 transformieren wir anhand der Gleichung: cos²α = 1 - sin²α ebenfalls auf Radikalgestalt. Die Radikaldarstellung der zwei anderen Nullstellen des Polynoms f können wir nun durch Spiegelung an der reellen Achse bestimmen.

Die exakte Berechnung der Nullstellen eines Polynoms durch Grundrechen- und Wurzeloperationen bezeichnet man als „Auflösung einer Gleichung durch Radikale”. Die lineare Gleichung ax + b = 0 lässt sich einfach durch die Formel x = -b/a lösen, und bei quadratischen Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung anwenden. Gleichungen vom Grad drei und vier können mit der Cardanischen Formel bzw. mit dem Verfahren von Ferrari exakt gelöst werden. Solche allgemeinen Formeln gibt es für Gleichungen höheren Grades allerdings nicht. Zu dieser Erkenntnis gelangt man durch die Galoistheorie, wo man die sogenannte Galoisgruppe einer Gleichung betrachtet. Gewisse Untergruppen dieser Gruppe entsprechen nämlich den Zwischenschritten zur Auflösung der Gleichung:

Präzise formuliert ist eine Gleichung genau dann auflösbar (ein Polynom ist durch Radikale lösbar), wenn Untergruppen der zugehörigen Galoisgruppe G existieren, die eine Normalreihe G = Go ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn = {id} bilden mit abelschen Faktoren Gi / Gi+1 i ∈ {0,...,n-1}. Die Lösungen einer Gleichung kann man also genau dann durch Radikale darstellen, wenn die zugehörige Galoisgruppe auflösbar ist. Die Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms vom Grad n ist die volle symmetrische Gruppe Sn, die für alle n ≥ 5 nicht auflösbar ist. Daraus folgt:

Zu keinem n ≥ 5 existiert eine Formel, um die Nullstellen des allgemeinen Polynoms vom Grade n exakt (durch Radikale) zu bestimmen.


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Wir können allerdings noch nicht ausschließen, dass für jedes konkrete Polynom ein individuelles Lösungsverfahren existiert. Beispielsweise erhält man sämtliche Nullstellen von x8-2x4+1 durch die Substitution z:=x4. Das Polynom 32x5+40x4-20x3-25x2+9x/8+45/32 ist mittels z:=2x+½ sofort zu „knacken”. Auch die Gleichung x5+15x-44=0 muss durch Radikale lösbar sein, das besagt die zugehörige Galoisgruppe. Wir betrachten jetzt aber die eingangs erwähnte Gleichung x5 + 4x4 - 2 = 0, die man tatsächlich nicht nach x auflösen kann.

Die gesuchten Werte kann man zwar problemlos mit großer Genauigkeit approximativ berechnen, die exakten Zahlen erhält man auf diese Weise aber ebenso wenig wie durch noch so raffinierte Substitutionen. Viele Leser werden sich fragen, warum eine so harmlos anmutende Gleichung unlösbar sein soll. Deswegen folgt jetzt der Beweis, wobei wir der Kürze halber das unvermeidliche algebraische Vokabular nicht erläutern:

Aus dem Kriterium von Eisenstein und dem Gaußschen Lemma folgt: Das Polynom f mit f(x) = x5+4x4-2 ist über dem Körper der rationalen Zahlen unzerlegbar. Eine elementare Kurvendiskussion zeigt, dass f genau drei einfache reelle Nullstellen hat, also existieren zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nullstellen die Identität, folglich enthält die Galoisgruppe Gal(f) ⊆ S5 eine Transposition. Außerdem folgt aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy, dass Gal(f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe S5.

Nicht nur das obige Polynom, sondern die weitaus meisten Polynome vom Grad n ≥ 5 haben als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe Sn und sind damit nicht auflösbar. Eine Ausnahme hiervon bilden zum Beispiel die Kreisteilungspolynome, deren Galoisgruppe isomorph zur entsprechenden abelschen Gruppe Z/nZ* ist - übrigens hat das n-te Kreisteilungspolynom die Gestalt xn-1+xn-2+...+1, falls n eine Primzahl ist.

Die nächste Abstraktionsstufe besteht darin, nicht mehr die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, sondern den von ihnen erzeugten Körper zu untersuchen, wobei dann die Körperautomorphismen an die Stelle der Permutationen treten.


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So elegant die Galoistheorie auch ist, ihr Ursprung gleicht einer Tragödie: Wenige Stunden vor seiner tödlichen Verwundung in einem Pistolenduell schrieb Evariste Galois seine bahnbrechenden Erkenntnisse nieder. Was der Zwanzigjährige im Morgengrauen des 30. Mai 1832 in verzweifelter Eile zu Papier brachte, fasziniert den mathematisch Interessierten auch noch heute. Ruhm konnte Galois zu Lebzeiten aber nicht ernten. Wegen seiner unverhohlenen Verachtung für mathematisch weniger begabte Mitmenschen machte es sich sein kurzes Leben selber schwer. Seine Manuskripte, die er bereits als Siebzehnjähriger verfasste, stießen auf Unverständnis oder verschwanden auf seltsame Weise bei den Prüfungskommissionen.

  Evariste Galois

Evariste Galois
1811 - 1832

Bezeichnend ist auch der Verlauf seiner Aufnahmeprüfung an der École Polytechnique: Einer der Prüfer konnte oder wollte Galois' unkonventionellen Lösungsweg zu einer Aufgabe nicht verstehen - zornig warf ihm Evariste den Tafellappen mitten ins Gesicht, womit sich seine Polytechnique-Pläne erledigt hatten.

Erst Jahrzehnte nach seinem Tod begriffen die Mathematiker seine Entdeckungen. Seither ist die Galoistheorie ein fundamentaler Bestandteil der Algebra. Das Leben des brillanten Franzosen beschreibt der Autor Eric T. Bell ausführlich in dem Buch:  Die großen Mathematiker.
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