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Berechnung einer Galoisgruppe

Wir wollen hier die Theorie nicht ausführlich erläutern, sondern berechnen schlicht und einfach die Galoisgruppe des Polynoms f mit f(x) = x4+x3+x2+x+1. f hat die Nullstellen x1 = exp(2pii/5), x2 = x12 = exp(4pii/5), x3 = x13 = exp(6pii/5), x4 = x14 = exp(8pii/5). Damit gelten die Relationen:

a)   x1 · x4 - 1 = exp(10pii/5) - 1 = 1 - 1 = 0
b)   x12 · x3 - 1 = 0
c)   x13 · x2 - 1 = 0
d)   x14 · x1 - 1 = 0

Die vier Nullstellen lassen sich auf 4!-fache Weise anordnen - oder etwas wissenschaftlicher ausgedrückt: „permutieren”. Zum Beispiel bewirkt die Permutation σ:= ((x1→x2), (x2→x1),(x3→x3),(x4→x4)) die Vertauschung der ersten beiden Nullstellen x1 und x2. Es reicht aus, nur die Indizes der Nullstellen zu notieren und jede Permutation als entsprechenden Zyklus darzustellen, also σ = (1 2)(3)(4) oder kürzer (1 2), wobei man somit die einelementigen Zyklen (3) und (4) nicht aufschreibt.

Wir wenden jetzt die 4! = 24 Permutationen auf die Gleichungen a, b, c, d an und bilden die Menge G derjenigen Permutationen, welche die rechten Seiten der Gleichungen nicht verändern. Zum Beispiel lautet das Bild der Gleichung c unter der oben genannten Permutation σ:   x23 · x1 - 1 ≠ 0. Die Permutation σ verändert also die rechte Seite einer Gleichung und liegt somit nicht in der Menge G. Analog ergibt sich, dass lediglich die Permutationen τ:= (1 2 4 3), τ2 = (1 4)(2 3), τ3 = (1 3 4 2), τ4 = id in G liegen - also die Relationen nicht „zerstören”. Die Menge G = { τ, τ2, τ3, τ4 } ist mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe - die Galoisgruppe von x4 + x3 + x2 + x + 1.
zur Gleichungslehre