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Der Begriff „Additionstheoreme” bezeichnet vor allem die Gleichungen
sin(x+y) = sinx · cosy + cosx · siny,
cos(x+y) = cosx · cosy - sinx · siny.
Diese Gleichungen sind ursprünglich elementargeometrisch motiviert - man kann sie aber auch mit der Eulerschen Formel begründen. Bevor wir das zeigen, betrachten wir noch das Additionstheorem für den Tangens:

Additionstheoreme

Anfrage: Rhalik, t-online
Wie kann ich ohne Taschenrechner herausfinden, ob sin60° = tan40° ist ?

Antwort:

Am gleichseitigen Dreieck stellt man fest: 2·sin60° = 3 = tan60°. Wäre sin60° = tan40°, dann ergäbe sich aus dem Additionstheorem für tan(x-y) angewandt auf tan(60°-20°) die Gleichung: sin20° = 3/28.

Aus dem Additionstheorem für sin3·20° folgt aber, dass die Zahl sin20° eine Nullstelle von f(x) = 8x³ - 6x + 3 ist. Man sieht jedoch sofort: f(3/28) ≠ 0. Somit gilt: sin60° ≠ tan40°.


Mathematik-Online, Additionstheoreme


Bemerkungen:

Die Additionstheoreme für sin(x+y) und cos(x+y) liefern entsprechende Formeln für sin(x-y) und cos(x-y). Daraus folgt:
tan(x-y) = (tanx - tany) / (1 + tanx · tany).
Aus sin60° = tan40° würde dann (s.o.) die Aussage: sin20° = 3/28 folgen.

In unserer Antwort haben wir die Widerlegung dieser Aussage skizziert - wir erläutern die entsprechenden Schritte jetzt ausführlich:
Es gilt: sin3x = sin(2x+x), daraus folgt: sin3x = 3sinx - 4sin³x. Aus sin60° = ½·3 ergibt sich daher, dass sin20° eine Nullstelle von f(x) = 8x³ - 6x + 3 ist. Wegen sin20° = 3/28 würde also gelten: f(3/28) = 0. Mit wenigen Umformungen erhalten wir daraus die Aussage: 36/7 = 28; und das ist offensichtlich falsch, weil 28 eine irrationale Zahl ist. (n ist genau dann rational, wenn n eine Quadratzahl ist.) Statt mit der Irrationalität von 28 zu argumentieren, kann man auch beide Seiten der Gleichung quadrieren und es folgt: 36² = 7²·28. Diese Aussage ist natürlich falsch, weil 7 nicht 36 teilt.

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus werden wir gleich in einer Zeile aus der Eulerschen Formel ableiten. Zuvor zeigen wir für sin(x+y), wie die elementargeometrische Herleitung funktioniert:
Herleitung Additionstheorem
Der Strecke OS ordnen wir die Länge 1 zu, und die Dreiecke OPS, OAS, OBA, CAS seien rechtwinklig. Somit gilt: x+y+z = pi/2 = x'+y+z ⇒ x' = x. Ferner erhalten wir aus den obigen Voraussetzungen: sin(x+y) = SP = SC + CP. Das Dreieck CAS liefert uns die Gleichung: SC = SA · cosx, und aus dem Dreieck OAS ergibt sich: SA = siny, OA = cosy. Am Dreieck OBA liest man ab: CP = AB = OA · sinx = cosy · sinx. Daraus folgt schließlich für alle Winkel x, y ≤ pi/2: sin(x+y) = SP = SC + CP = siny · cosx + cosy · sinx.

Dagegen lassen sich die Additionstheoreme mit Hilfe der Eulerschen Formel   eiy = cosy + i · siny   und der Funktionalgleichung   ei(x+y) = eix · eiy wesentlich eleganter herleiten:
cos(x+y) + i · sin(x+y) = ei(x+y) = (cosx + i · sinx) · (cosy + i · siny)
- dieses Produkt muss man nur noch in Real- und Imaginärteil zerlegen.

Themenliste Eulersche Formel