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Der Begriff „Additionstheoreme” bezeichnet vor allem die Gleichungen
sin(x+y) = sinx · cosy + cosx · siny,
cos(x+y) = cosx · cosy - sinx · siny.
Diese Gleichungen sind ursprünglich elementargeometrisch motiviert - man kann sie aber auch mit der Eulerschen Formel begründen. Bevor wir das zeigen, betrachten wir noch das Additionstheorem für den Tangens. Um keine Verwirrung zu stiften, übernehmen wir hier einfach die vorgegebenen Gradangaben und verwenden nicht das formal korrekte Bogenmaß:

Additionstheoreme

Anfrage: Rhalik, t-online
Wie kann ich ohne Taschenrechner herausfinden, ob sin60° = tan40° ist ?

Antwort:

Am gleichseitigen Dreieck stellt man fest: 2·sin60° = 3 = tan60°. Wäre sin60° = tan40°, dann ergäbe sich aus dem Additionstheorem für tan(x-y) angewandt auf tan(60°-20°) die Gleichung: sin20° = 3/28.

Aus dem Additionstheorem für sin3·20° folgt aber, dass die Zahl sin20° eine Nullstelle von f(x) = 8x³ - 6x + 3 ist. Man sieht jedoch sofort: f(3/28) ≠ 0. Somit gilt: sin60° ≠ tan40°.


Mathematik-Online, Additionstheoreme


Bemerkungen:

Die Additionstheoreme für sin(x+y) und cos(x+y) liefern entsprechende Formeln für sin(x-y) und cos(x-y). Daraus folgt:
tan(x-y) = (tanx - tany) / (1 + tanx · tany).
Aus sin60° = tan40° würde dann (s.o.) die Aussage: sin20° = 3/28 folgen. Oben haben wir diese Aussage widerlegt - die einzelnen Schritte erläutern wir nun ganz ausführlich:

Es gilt: sin3x = sin(2x+x), daraus folgt: sin3x = 3sinx - 4sin³x. Aus sin60° = ½·3 ergibt sich daher, dass sin20° eine Nullstelle von f(x) = 8x³ - 6x + 3 ist. Wegen sin20° = 3/28 würde also gelten: f(3/28) = 0. Mit wenigen Umformungen erhalten wir daraus die Aussage: 36/7 = 28; und das ist offensichtlich falsch, weil 28 eine irrationale Zahl ist. (n ist genau dann rational, wenn n eine Quadratzahl ist.) Statt mit der Irrationalität von 28 zu argumentieren, kann man auch beide Seiten der Gleichung quadrieren und es folgt: 36² = 7²·28. Diese Aussage ist natürlich falsch, weil 7 nicht 36 teilt.

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus werden wir gleich in einer Zeile aus der Eulerschen Formel ableiten. Zuvor zeigen wir für sin(x+y), wie die elementargeometrische Herleitung funktioniert:
Herleitung Additionstheorem
Der Strecke OS ordnen wir die Länge 1 zu, und die Dreiecke OPS, OAS, OBA, CAS seien rechtwinklig. Somit gilt: x+y+z = pi/2 = x'+y+z ⇒ x' = x. Ferner erhalten wir aus den obigen Voraussetzungen: sin(x+y) = SP = SC + CP. Das Dreieck CAS liefert uns die Gleichung: SC = SA · cosx, und aus dem Dreieck OAS ergibt sich: SA = siny, OA = cosy. Am Dreieck OBA liest man ab: CP = AB = OA · sinx = cosy · sinx. Daraus folgt schließlich für alle Winkel x, y ≤ pi/2: sin(x+y) = SP = SC + CP = siny · cosx + cosy · sinx.

Dagegen lassen sich die Additionstheoreme mit Hilfe der Eulerschen Formel   eiy = cosy + i · siny   und der Funktionalgleichung   ei·(x+y) = eix · eiy wesentlich eleganter herleiten. Es gilt:
cos(x+y) + i·sin(x+y) = ei·(x+y) = (cosx + i·sinx) · (cosy + i·siny).
Dieses Produkt muss man nur noch in Real- und Imaginärteil zerlegen.

Themenliste Eulersche Formel