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In einem Wartezimmer gibt es ebenso viele Stühle wie Menschen, wenn niemand stehen muss und kein Stuhl frei ist. Ohne zu zählen, kann man so die Mächtigkeit (Größe, Kardinalität) von Mengen vergleichen. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann. Im endlichen Fall stimmt das mit der Anschauung überein, bei unendlichen Mengen sieht das schon anders aus.

Zum Beispiel ist die Menge IN aller natürlichen Zahlen gleichmächtig zur Menge der geraden natürlichen Zahlen - das zeigt sich, indem wir der Zahl n die Zahl 2n zuordnen. Noch paradoxer erscheint es, dass IN gleichmächtig zur Menge der rationalen Zahlen ist. Die Abzählung der rationalen Zahlen ist jedoch so einfach wie genial - Cantors Diagonalverfahren. Die reellen Zahlen lassen sich dagegen selbst mit dem raffiniertesten Trick nicht abzählen:

Kontinuumshypothese

Anfrage:  M. Gonzov, web
Wie unendlich sind die reellen Zahlen?

Antwort:

Darauf gibt es keine eindeutige Antwort! Auf jeden Fall kann man die reellen Zahlen nicht durchnummerieren. Ansonsten hätte auch jede abzählbar unendliche Folge natürlicher Zahlen eine Nummer und zu jeder Nummer j gäbe es genau eine Folge aj1,  aj2,  ... Demnach müsste auch a11+1, a22+1 ... eine Nummer k haben. Die widersprüchliche Konsequenz daraus lautet: akk = akk+1.

Die Menge IR der reellen Zahlen ist somit „unendlicher” als die Menge IN der natürlichen Zahlen - man sagt deshalb, dass IR überabzählbar ist. Georg Cantor stellte im 19. Jahrhundert die Hypothese auf, dass zwischen den Mächtigkeiten von IN und IR keine weitere Mächtigkeit existiert. Mit den Arbeiten von Kurt Gödel und Paul Cohen weiß man inzwischen, dass Cantors Hypothese nicht entscheidbar ist.


Mathematik-Online, Kontinuumshypothese


Anmerkungen

Man erhält auf jeden Fall Abstufungen im Unendlichen durch Konstruktion von Potenzmengen, wobei die Potenzmenge IP(M) aus allen Teilmengen der Menge M besteht. Zu einer endlichen Menge M der Kardinalität n existieren stets 2n Teilmengen. Das sind offensichtlich zu viele, um sie mit den Elementen aus M jeweils verschieden zu nummerieren. Bei unendlichen Mengen ist das ebenso, wie sich etwa bei der Menge IN zeigt:

Angenommen, man könnte alle Teilmengen der natürlichen Zahlen mit T1, T2, T3 ... paarweise verschieden durchnummerieren. Dann hätte die (nicht leere) Teilmenge T:= {n∈IN| n∉Tn} ebenfalls eine Nummer k. Folglich läge k genau dann in T, wenn k kein Element von T wäre - Widerspruch!
T ≠ ∅ lässt sich übrigens wie folgt zeigen: Weil die Mengen {1}, {2}, {1,2} verschieden nummeriert werden, muss eine dieser Mengen eine Nummer n > 2 haben, das heißt: n ∉ Tn.

 Georg Cantor (Halle an der Saale), der Begründer der Mengenlehre.

Georg Cantor
1845 - 1918

Die natürlichen Zahlen reichen also nicht, um alle Teilmengen von IN verschieden zu nummerieren. Die Potenzmenge IP(IN) hat daher eine größere Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen. Auf analoge Weise folgt, dass IP(IP(IN)) mächtiger als IP(IN) ist. So kann man beliebig fortfahren, die entscheidende Frage ist jedoch, ob noch andere Abstufungen im Unendlichen existieren - vor allem zwischen der Mächtigkeit von IN und der von IP(IN). Die Menge der reellen Zahlen liefert jedenfalls keine neue Stufe der Unendlichkeit. Aus der dyadischen Darstellung der reellen Zahlen folgt nämlich, dass IR und IP(IN) gleichmächtig sind.

Cantor versuchte, Teilmengen von IR zu bestimmen, die weder abzählbar sind noch die Mächtigkeit von IR haben. Er konstruierte bei seiner Suche u.a. eine Teilmenge des Intervalls [0,1] mit erstaunlichen Eigenschaften (das Cantorsche Diskontinuum) - eine neue Zwischenmächtigkeit fand er aber nicht. Im Jahre 1878 stellte er dann seine berühmte Hypothese auf, dass alle Teilmengen von IR entweder abzählbar sind oder die Mächtigkeit des Kontinuums haben.


Mathematik-Online, Kontinuumshypothese


Kurt Gödel zeigte 1938, dass Cantors Hypothese mit dem Axiomensystem ZF der Mengenlehre konsistent ist und Paul Cohen bewies 1963, dass die Hypothese nicht aus ZF bzw. ZFC folgt. Die Kontinuumshypothese ist daher unabhängig vom Axiomensystems ZFC. Übrigens stehen die drei Buchstaben „ZFC” für die Mathematiker Ernst Zermelo (1871-1953) und Adolf Fraenkel (1891-1965) sowie dem Auswahlaxiom (Axiom of Choice).

Die Mathematiker Gödel (Österreich) und
        Cohen (USA).



Demnach läge es allein in unserem Belieben, zwischen den Mächtigkeiten der Mengen IN und IR weitere Unendlichkeiten zu postulieren. Es gibt aber auch den Standpunkt, dass eine mathematische Wirklichkeit unabhängig vom menschlichen Denken existiert. Der Mathematiker findet und erforscht dann nur die vorhandenen Objekte und Gesetze - wie etwa die Zahl π oder die Eulersche Formel. Die Ergebnisse von Gödel und Cohen wären dann kein hinreichender Grund, Eigenschaften des Kontinuums von unserem Ermessen abhängig zu machen.
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