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Mit der Jordanschen Normalform lässt sich ein Endomorphismus auf einfache Weise darstellen, falls das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wir zeigen hier, wie man die Jordansche Normalform berechnet und eine Jordanbasis bestimmt:

Jordansche Normalform

Anfrage:  Björn S. web.de
Ich möchte die Jordanblöcke zum Eigenwert λ einer Matrix A bestimmen und berechne Rang(A-λE)j-1 - Rang(A-λE)j für j = 1, 2, 3, ... (E ist die n×n-Einheitsmatrix). Sobald eine Differenz = 0 ist, kann ich aufhören, weil die Differenzenfolge monoton fällt. Das wird im Vorlesungsskript auch bewiesen, wobei vor lauter Indizes aber kein Mensch mehr durchblickt.

1. Frage: Gibt es hierzu einen übersichtlicheren Beweis?
2. Frage: Wieso ist Rang(A-λE)0 = dim V ?
3. Frage: Woran sehe ich, wie viele Blöcke es gibt und wie groß die einzelnen Blöcke sind?

Antwort:

Es lässt sich einiger Ballast an Indizes loswerden, wenn man solche Beweise auf Beispiele überträgt - dann wird vieles sofort übersichtlicher und der Blick frei für das Wesentliche.

In jedem Ring definiert man: a0 = 1. Die Eins im Ring der Matrizen Mn,n(K) ist die Einheitsmatrix En, folglich gilt: (A-λEn)0 = En. Die n×n-Einheitsmatrix hat n linear unabhängige Zeilen, also den Rang n = dim V. Wenn klar ist, um welche Dimension es sich handelt, kann man statt En einfach E schreiben.

Übrigens bezeichnet man die Differenzenfolge Rang(A-λE)j-1 - Rang(A-λE)j als Rangpartition p(λ). Anzahl und Länge (Größe) der einzelnen Jordanblöcke zum Eigenwert λ erhält man direkt aus q(λ) = (q1, q2, ...) mit q1 = Anzahl der Glieder ≥1 in p(λ), q2 = Anzahl der Glieder ≥ 2 in p(λ) etc.   Sowohl p(λ) als auch q(λ) sind Partitionen der algebraischen Vielfachheit von λ. Die Partition q(λ) bezeichnet man als dual zu p(λ), umgekehrt ist auch p(λ) dual zu q(λ).

Sei etwa p(λ) = (3,3,1), dann ist also q(λ) = (3,2,2). Zum Eigenwert λ gibt es somit einen Jordanblock der Länge 3 (3×3 Jordanblock) und zwei Jordanblöcke der Länge 2. Üblicherweise ordnet man die Blöcke zu jedem λ der Größe nach absteigend an. Die Jordansche Normalform ist somit bis auf die beliebige Reihenfolge der Eigenwerte eindeutig bestimmt.



Jordansche Normalform berechnen


Bemerkungen

Wenn man das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegt hat, ist es also überhaupt kein Problem, die Jordansche Normalform zu berechnen. Die eigentliche Arbeit besteht darin, eine zugehörige Basis zu bestimmen. Wie das funktioniert, zeigen wir jetzt an einem umfassenden Beispiel:

Das charakteristische Polynom der n×n-Matrix A zerfalle in Linearfaktoren, wobei der Eigenwert λ die algebraische Vielfachheit 11 habe. Wir bezeichnen die n×n-Einheitsmatrix einfach mit E, und es gelte:
Rang(A-λE)0 - Rang(A-λE)1 = 4,
Rang(A-λE)1 - Rang(A-λE)2 = 3,
Rang(A-λE)2 - Rang(A-λE)3 = 2,
Rang(A-λE)3 - Rang(A-λE)4 = 2.
Alle weiteren Differenzen sind 0, denn 4+3+2+2=11.
Daraus ergibt sich zum Eigenwert λ die Rangpartition p(λ) = (4,3,2,2). Wir berechnen die duale Partition q(λ):
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 1,
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 2,
2 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 3,
1 Zahl in p(λ) ist größer oder gleich 4.
Die duale Partition q(λ) lautet daher: (4,4,2,1).

Somit gibt es zwei Jordanblöcke der Länge 4, einen Jordanblock der Länge 2 und einen Jordanblock der Länge 1 zum Eigenwert λ (statt “Jordanblock” kann man auch den Begriff “Jordankästchen” verwenden).

 λ   1   0   0 
 0   λ   1   0 
 0   0   λ   1 
 0   0   0   λ 
                 λ   1   0   0 
                 0   λ   1   0 
                 0   0   λ   1 
                 0   0   0   λ 
                                 λ   1 
                                 0   λ 
                                         λ 
Die Nullen außerhalb der Blöcke und die zwei Klammern ersparen wir uns.

Anzahl und Nummerierung der Basisvektoren

Den größten Jordanblock haben wir wie üblich an die 1. Position gesetzt. Weil er die Länge 4 hat, sind ihm vier Basisvektoren zugeordnet, die wir mit
v11, v12, v13, v14
bezeichnen. Man kann sich diese Vektoren wie eine Kette mit vier Gliedern vorstellen - am ersten Jordanblock lassen sich nämlich folgende Relationen ablesen:
v13 = (A-λE)·v14,
v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)·v14,
v11 = (A-λE)·v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)·v14.
Zum zweiten Jordanblock (Länge 4) gehören ebenfalls vier Basisvektoren
v21, v22, v23, v24,
die genauso wie die erste Kette zusammenhängen. Zum dritten Jordanblock (Länge 2) gehört eine Kette von zwei Basisvektoren
v31, v32
und zum vierten Jordanblock (Länge 1) die Kette mit nur einem Basisvektor
v41.
Wir haben hier vier sogenannte Jordanketten mit insgesamt 11 Vektoren, wobei jede Kette durch den jeweils letzten Vektor eindeutig bestimmt ist. Es sind daher die passenden vier “Endglieder” v14, v24, v32, v41 gesucht, so dass letztendlich alle 11 resultierenden Vektoren linear unabhängig sind.


Jordanbasis


Jordanbasis berechnen

Um die vier gesuchten Vektoren zu bestimmen, überlegen wir uns zuerst, welche Eigenschaften sie haben und beginnen mit v14: Aus unserer Relation (A-λE)³·v14 = v11 folgt: (A-λE)4·v14 = (A-λE)·v11 = 0, denn A·v11 = λ·v11 (siehe 1. Spalte Jordanblock). Daraus folgt: v14 ∈ Kern(A-λE)4 und v14 ∉ Kern(A-λE)³. Die anderen drei fraglichen Vektoren v24, v32, v41 betrachten wir auf die gleiche Weise und erhalten die Räume
V0 := Kern(A-λE)0,

V1 := Kern(A-λE),

V2 := Kern(A-λE)²,

V3 := Kern(A-λE)³,

V4 := Kern(A-λE)4,
wobei gilt: V0 = {0} ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ V3 ⊂ V4. Es handelt sich offensichtlich um jeweils echte Unterräume. Damit können wir v14 ∈ Kern(A-λE)4 und v14 ∉ Kern(A-λE)³ besser durch 0 ≠ v14+V3 ∈ V4/V3 ausdrücken. Unsere anderen Vektoren assoziieren wir ebenso mit Nebenklassen der Faktorräume Vj/Vj-1 und berechnen zu jedem Faktorraum eine Basis:

Basis V4/V3   Die letzte Zahl der Rangpartition p(λ) = (4,3,2,2) besagt: dim V4/V3 = 2, somit sind zwei Vektoren aus V4 gesucht (die wir eben mit v14 und v24 bezeichnen), so dass die Nebenklassen v14+V3, v24+V3 linear unabhängig sind. Wir bestimmen daher (notfalls per Gauß-Algorithmus) eine Basis von V3 und ergänzen diese durch geeignete Vektoren v14, v24 zu einer Basis von V4.

Basis V3/V2   Die Nebenklassen v13+V2, v23+V2 ergeben sich von selbst durch die Bedingungen: v13 = (A-λE)·v14 und v23 = (A-λE)·v24. Diese beiden Nebenklassen sind linear unabhängig, weil die lineare Abbildung F: V4/V3 → V3/V2 mit F(v+V3) = (A-λE)·v + V2 injektiv ist - man sollte sich klarmachen, dass F tatsächlich wohldefiniert, linear und injektiv ist. Wegen dim V3/V2 = 2 bilden diese zwei linear unabhängigen Nebenklassen eine Basis von V3/V2.

Basis V2/V1   Wegen v12 = (A-λE)²·v14 und v22 = (A-λE)²·v24 ergeben sich zwei linear unabhängige Nebenklassen von selbst - an der Rangpartition p(λ) lesen wir ab: dim V2/V1 = 3. Daher müssen wir noch genau einen Vektor v32 bestimmen, so dass die Vektoren v12, v22, v32 eine Basis von V1 zu einer Basis von V2 ergänzen.

Basis V1/V0   Es gilt: dim V1/V0 = 4, also benötigen wir vier linear unabhängige Nebenklassen für eine Basis. Wir können V1/V0 = V1/{0} natürlich mit V1 identifizieren, daher müssen wir hier Nebenklassen und Vektoren nicht mehr unterscheiden. Drei linear unabhängige Vektoren sind durch v11 = (A-λE)³·v14, v21 = (A-λE)³·v24 und v31 = (A-λE)·v32 gegeben. Folglich ist es hinreichend, den Vektor v41 einfach so zu wählen, dass die Vektoren (Nebenklassen) v11, v21, v31, v41 linear unabhängig sind.

Die Basen aller obigen Faktorräume liefern uns die 11 gesuchten Vektoren v11, v12, v13, v14, v21, v22, v23, v24, v31, v32, v41. Im Anhang zeigen wir, dass diese Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind. Dort beschreiben wir auch einen typischen Fehler, der bei der Basisberechnung gemacht wird. Die Reihenfolge der Basisvektoren ergibt sich ganz von selbst aus unserer anfangs gewählten Nummerierung, also aus der Länge der Jordanketten, wobei die Ketten (v11, v12, v13, v14) und (v21, v22, v23, v24) vertauscht werden können, weil sie zu gleich langen Blöcken gehören.

Unser Vorgehen kann man leicht verallgemeinern und ggfs. auf weitere Eigenwerte der Matrix A anwenden. Die einzelnen Basen vereinigt man zu einer Jordanbasis, deren Spalten eine invertierbare Matrix S bilden, wobei
J = S-1·A·S
gerade die Jordansche Normalform der Matrix A ist. Dieses Ergebnis stimmt selbstverständlich bei korrekter Berechnung aller Basisvektoren mit der Jordanschen Normalform überein, die sich aus den Partitionen ergibt. Mit den Matrizen S und S-1 lassen sich dann alle Koordinatentransformationen durchführen. Die Matrix S ist nicht eindeutig bestimmt, weil die Endglieder der Jordanketten nicht eindeutig bestimmt sind und gleich lange Ketten zu einem Eigenwert vertauscht werden können. Wenn verschiedene Eigenwerte existieren, ist deren Reihenfolge zudem nicht festgelegt.



Jordansche Normalform


Elementares Beispiel

Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 und f: V → V mit f(a + bT + cT² + dT³) = 2a+b-d + (3b-d)T + (-a+2c+d)T² + (b+d)T³. Daraus folgt:
f(1) =   2· + 0· - 1· + 0·
f(T)  =   1· + 3· + 0· + 1·
f(T²) =   0· + 0· + 2· + 0·
f(T³) = - 1· - 1· + 1· + 1·
Für unseren Endomorphismus f ergibt sich damit bezüglich der Basis (1, T, T², T³) von V die Koeffizientenmatrix A =
  2    1    0   -1 
  0    3    0   -1 
 -1    0    2    1 
  0    1    0    1 
Jedes Polynom p ∈ V lässt sich anhand seiner vier Koeffizienten a, b, c, d bezüglich der Basisvektoren 1, T, T², T³ mit dem Vektor vp = (a b c d)tIR4 identifizieren. Den Basiselementen 1, T, T², T³ selber werden auf diese Weise die Standardbasisvektoren des IR4 zugeordnet (das wäre natürlich auch bei jeder anderen zugrunde gelegten Basis von V der Fall). Dem Bild f(p) ∈ V ist damit umkehrbar eindeutig der Vektor A·vpIR4 zugeordnet.

ΧA = (x-2)4 ist das zugehörige charakteristische Polynom, die algebraische Vielfachheit des einzigen Eigenwertes λ = 2 beträgt also 4. Weil A-2E nicht die Nullmatrix ist, gilt: dim Kern(A-2E) < 4. Somit existieren zu wenig linear unabhängige Eigenvektoren, um daraus eine Basis des IR4 zu konstruieren. Daher ist A nicht diagonalisierbar. Weil ΧA aber in Linearfaktoren zerfällt, existiert die Jordansche Normalform von A, die wir jetzt berechnen. Es gilt:
Rang(A-2E)0 - Rang(A-2E)1 = 4-2 = 2,
Rang(A-2E)1 - Rang(A-2E)² = 2-0 = 2.
Alle weiteren Differenzen sind offensichtlich Null, daraus folgt:
p(λ) = (2,2)   ⇒   q(λ) = (2,2).
Die Jordansche Normalform J unserer Matrix A besteht also aus 2 Blöcken, die jeweils die Länge 2 haben.
 2   1   0   0 
 0   2   0   0 
 0   0   2   1 
 0   0   0   2 
Zum ersten Jordanblock gehören zwei Basisvektoren v11 und v12 mit v11 = (A-2E)·v12. Zum zweiten Jordanblock gehören zwei Basisvektoren v21 und v22 mit v21 = (A-2E)·v22. Wir bestimmen zu den Räumen V1 = Kern(A-2E) und V2 = Kern(A-2E)² = IR4 die Vektoren v12 und v22 derart, dass die Nebenklassen v12+V1, v22+V1 eine Basis des Faktorraumes V2/V1 bilden. Dies gilt z.B. für v12:= (0 1 0 0)t und v22:= (0 1 1 1)t. Daraus folgt: v11 = (A-2E)·v12 = (1 1 0 1)t und v21 = (A-2E)·v22 = (0 0 1 0)t. Somit ist (v11, v12, v21, v22) die gesuchte Jordanbasis. Die Matrix S lautet daher:
 1   0   0   0 
 1   1   0   1 
 0   0   1   1 
 1   0   0   1 
Weil die Spalten aus den (linear unabhängigen) Basisvektoren bestehen, ist die Matrix S invertierbar. Es gilt:
S-1·A·S = J.
Mit Hilfe dieser Gleichung können wir die Jordansche Normalform jetzt anwenden:


Koordinatentransformation


Anwendung

Es sei p = 4 + 2T - T² + 3T³ ∈ V. Wir wollen unseren Endomorphismus f n-mal auf p anwenden, es ist also fn(p) zu bestimmen. Bezüglich der Basis (1, T, T², T³) ergibt sich für p der Koordinatenvektor vp = (4 2 -1 3)tIR4. fn(p) bestimmen wir anhand von An·vp und müssen daher die allgemeine n-te Potenz der obigen Matrix A berechnen. Das kann man auf direkte Weise machen, wenn der Strandurlaub verregnet ist - mit Hilfe der Jordanschen Normalform geht das viel besser. Es gilt:

J   =   S-1·A·S   ⇒   A   =   S·J·S-1   ⇒  

A²   =   (S·J·S-1)·(S·J·S-1)   =   S·J·(S-1·S)·J·S-1   =   S··S-1.

So fortfahrend erhalten wir:
An   =   S·Jn·S-1.
Die Matrix Jn berechnen wir durch Potenzierung der einzelnen Jordanblöcke, also gilt: Jn =
 2n   n·2n-1   0   0 
 0   2n   0   0 
 0   0   2n   n·2n-1 
 0   0   0   2n 
und es folgt:   An·vp   =    S·Jn·S-1·vp   =    2n-1·(8-n  4-n  -n-2  6-n)t. Daraus folgt: fn(p) = 2n-1·(8-n + (4-n)T + (-n-2)T² + (6-n)T³).

Am Ende machen wir uns noch klar, was die obige Gleichung S·Jn·S-1·vp (die man von rechts nach links lesen sollte) bedeutet: Die Koordinaten des Vektors vp beziehen sich auf die Standardbasis des IR4, unsere Matrix Jn bezieht sich dagegen auf die Jordanbasis. Es wäre also völlig sinnlos, einfach Jn·vp zu berechnen. Erst der Vektor S-1·vp korrespondiert zur Jordanbasis. Jn·S-1·vp ist dann der gesuchte Bildvektor. Seine “Jordan-Koordinaten” transformieren wir zum Schluss durch Multiplikation mit der Matrix S wieder auf die Standardbasis zurück.
nette Anwendung der JNF lineare Unabhängigkeit der Jordanbasis