Wenn das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A in Linearfaktoren zerfällt, ist A ähnlich zu einer Jordanschen Normalform. Bei der
Berechnung der JNF kann das Minimalpolynom sehr hilfreich sein:
Jordansche Normalform
Frage
Sei χA = (T-4)³(T-7) das charakteristische Polynom einer Matrix A, wobei
deg μA = 3 der Grad des Minimalpolynoms μA ist. Wie kann man
damit die JNF von A bestimmen?
Antwort
Weil μA ein Teiler von χA ist und beide Polynome dieselben irreduziblen Faktoren haben, gilt:
μA = (T-4)²(T-7).
Der größte Jordanblock zum Eigenwert λ1=4 hat die Länge m=2 (2×2-Block),
denn λ1 hat in μA die Vielfachheit m=2. In χA hat λ1 die Vielfachheit 3,
also kann es zu λ1 nur noch einen Jordanblock der Länge 3-m = 1 geben.
Weil λ2=7 in χA die Vielfachheit 1 hat, existiert zu λ2 genau ein
1×1-Jordanblock.
Damit ist die JNF vollständig bestimmt.
Anmerkungen
Das Minimalpolynom μ
A einer Matrix A ∈
Mnn(K) (K beliebiger Körper)
ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades mit
μA(A) = 0, wobei 0 die Nullmatrix bezeichnet.
Die Eigenschaft, dass μ
A und das charakteristische Polynom χ
A dieselben irreduziblen Teiler haben, ergibt sich wie folgt:
Mit dem Euklidischen Algorithmus kann man zeigen,
dass μ
A jedes Polynom g ∈
K[T] mit
g(A) = 0 teilt. Daher (Cayley-Hamilton) ist
μ
A ein Teiler von χ
A, also teilt auch jeder Faktor von μ
A das Polynom χ
A.
Umgekehrt lässt sich zeigen, dass χ
A ein Teiler von
(μA)n ist
(n = deg χA).
Weil in
K[T] jedes irreduzible Polynom
ein Primelement ist, teilt also jeder irreduzible Faktor von χ
A das Minimalpolynom μ
A.
Das Minimalpolynom kann zwar die Berechnung der Jordanschen Normalform erheblich vereinfachen, aber allein mit der JNF lässt sich nicht viel anfangen -
entscheidend ist, dass man eine zugehörige Basis bestimmt. Auf den nächsten
Seiten wird ausführlich gezeigt, wie das funktioniert.
