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Wenn das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A in Linearfaktoren zerfällt, ist A ähnlich zu einer Jordanschen Normalform. Bei der Berechnung der JNF kann das Minimalpolynom sehr hilfreich sein:

Jordansche Normalform

Frage:
Sei χA = (T-4)³(T-7) das charakteristische Polynom einer Matrix A, wobei deg μA = 3 der Grad des Minimalpolynoms μA ist. Wie kann man damit die JNF von A bestimmen?

Antwort:

Weil μA ein Teiler von χA ist und beide Polynome dieselben irreduziblen Faktoren haben, gilt: μA = (T-4)²(T-7).

Der größte Jordanblock zum Eigenwert λ1=4 hat die Länge m=2 (2×2-Block), denn λ1 hat in μA die Vielfachheit m=2. In χA hat λ1 die Vielfachheit 3, also kann es zu λ1 nur noch einen Jordanblock der Länge 3-m = 1 geben.
Weil λ2=7 in χA die Vielfachheit 1 hat, existiert zu λ2 genau ein 1×1-Jordanblock. Damit ist die JNF vollständig bestimmt.

Anmerkungen

Das Minimalpolynom μA einer Matrix A ∈ Mnn(K) (K beliebiger Körper) ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades mit μA(A) = 0, wobei 0 die Nullmatrix bezeichnet. Die Eigenschaft, dass μA und das charakteristische Polynom χA dieselben irreduziblen Teiler haben, ergibt sich wie folgt:
Mit dem Euklidischen Algorithmus kann man zeigen, dass μA jedes Polynom g ∈ K[T] mit g(A) = 0 teilt. Daher (Cayley-Hamilton) ist μA ein Teiler von χA, also teilt auch jeder Faktor von μA das Polynom χA. Umgekehrt lässt sich zeigen, dass χA ein Teiler von A)n ist (n = deg χA). Weil in K[T] jedes irreduzible Polynom ein Primelement ist, teilt also jeder irreduzible Faktor von χA das Minimalpolynom μA.

Das Minimalpolynom kann zwar die Berechnung der Jordanschen Normalform erheblich vereinfachen, aber allein mit der JNF lässt sich nicht viel anfangen - entscheidend ist, dass man eine zugehörige Basis bestimmt. Auf den nächsten Seiten wird ausführlich gezeigt, wie das funktioniert.
Diagonalisierung JNF-Basis berechnen