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JNF, Berechnung einer Basis



Beispiel

Das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A zerfalle in Linearfaktoren, wobei der Eigenwert λ die algebraische Vielfachheit 11 habe. Wir bezeichnen die n×n-Einheitsmatrix einfach mit E, und es gelte:
Rang(A-λE)0 - Rang(A-λE)1 = 4,
Rang(A-λE)1 - Rang(A-λE)2 = 3,
Rang(A-λE)2 - Rang(A-λE)3 = 2,
Rang(A-λE)3 - Rang(A-λE)4 = 2.
Alle weiteren Differenzen sind 0, denn 4+3+2+2=11.
Daraus ergibt sich zum Eigenwert λ die Rangpartition p(λ) = (4,3,2,2). Wir berechnen die duale Partition q(λ):
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 1,
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 2,
2 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 3,
1 Zahl in p(λ) ist größer oder gleich 4.
Die duale Partition q(λ) lautet daher: (4,4,2,1).

Somit gibt es zwei Jordanblöcke der Länge 4, einen Jordanblock der Länge 2 und einen Jordanblock der Länge 1 zum Eigenwert λ.

 λ   1   0   0 
 0   λ   1   0 
 0   0   λ   1 
 0   0   0   λ 
                 λ   1   0   0 
                 0   λ   1   0 
                 0   0   λ   1 
                 0   0   0   λ 
                                 λ   1 
                                 0   λ 
                                         λ 
Die Nullen außerhalb der Blöcke und die zwei Klammern ersparen wir uns.

Anzahl und Nummerierung der Basisvektoren

Den größten Jordanblock haben wir wie üblich an die 1. Position gesetzt. Weil er die Länge 4 hat, sind ihm vier Basisvektoren zugeordnet, die wir mit
v11, v12, v13, v14
bezeichnen. Man kann sich diese Vektoren wie eine Kette mit vier Gliedern vorstellen - am ersten Jordanblock lassen sich nämlich folgende Relationen ablesen:
v13 = (A-λE)·v14,
v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)·v14,
v11 = (A-λE)·v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)·v14.
Zum zweiten Jordanblock (Länge 4) gehören ebenfalls vier Basisvektoren
v21, v22, v23, v24,
die genauso wie die erste Kette zusammenhängen. Zum dritten Jordanblock (Länge 2) gehört eine Kette von zwei Basisvektoren
v31, v32
und zum vierten Jordanblock (Länge 1) die Kette mit nur einem Basisvektor
v41.
Wir haben hier vier sogenannte Jordanketten mit insgesamt 11 Vektoren, wobei jede Kette durch den jeweils letzten Vektor eindeutig bestimmt ist. Es sind daher die passenden vier “Endglieder” v14, v24, v32, v41 gesucht, so dass letztendlich alle 11 resultierenden Vektoren linear unabhängig sind.


Jordanbasis


Jordanbasis berechnen

Um die vier gesuchten Vektoren zu bestimmen, überlegen wir uns zuerst, welche Eigenschaften sie haben und beginnen mit v14: Aus unserer Relation (A-λE)³·v14 = v11 folgt: (A-λE)4·v14 = (A-λE)·v11 = 0, denn A·v11 = λ·v11 (siehe 1. Spalte Jordanblock). Daraus folgt: v14 ∈ Kern(A-λE)4 und v14 ∉ Kern(A-λE)³. Die anderen drei fraglichen Vektoren v24, v32, v41 betrachten wir auf die gleiche Weise und erhalten die Räume
V0 := Kern(A-λE)0,

V1 := Kern(A-λE),

V2 := Kern(A-λE)²,

V3 := Kern(A-λE)³,

V4 := Kern(A-λE)4,
wobei gilt: V0 = {0} ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ V3 ⊂ V4. Es handelt sich offensichtlich um jeweils echte Unterräume. Damit können wir v14 ∈ Kern(A-λE)4 und v14 ∉ Kern(A-λE)³ besser durch 0 ≠ v14+V3 ∈ V4/V3 ausdrücken. Unsere anderen Vektoren assoziieren wir ebenso mit Nebenklassen der Faktorräume Vj/Vj-1 und berechnen zu jedem Faktorraum eine Basis:

Basis V4/V3   Die letzte Zahl der Rangpartition p(λ) = (4,3,2,2) besagt: dim V4/V3 = 2, somit sind zwei Vektoren aus V4 gesucht (die wir eben mit v14 und v24 bezeichnen), so dass die Nebenklassen v14+V3, v24+V3 linear unabhängig sind. Wir bestimmen daher (notfalls per Gauß-Algorithmus) eine Basis von V3 und ergänzen diese durch geeignete Vektoren v14, v24 zu einer Basis von V4.

Basis V3/V2   Die Nebenklassen v13+V2, v23+V2 ergeben sich von selbst durch die Bedingungen: v13 = (A-λE)·v14 und v23 = (A-λE)·v24. Diese beiden Nebenklassen sind linear unabhängig, weil die lineare Abbildung F: V4/V3 → V3/V2 mit F(v+V3) = (A-λE)·v + V2 injektiv ist - man sollte sich klarmachen, dass F tatsächlich wohldefiniert, linear und injektiv ist. Wegen dim V3/V2 = 2 bilden diese zwei linear unabhängigen Nebenklassen eine Basis von V3/V2.

Basis V2/V1   Wegen v12 = (A-λE)²·v14 und v22 = (A-λE)²·v24 ergeben sich zwei linear unabhängige Nebenklassen von selbst - an der Rangpartition p(λ) lesen wir ab: dim V2/V1 = 3. Daher müssen wir noch genau einen Vektor v32 bestimmen, so dass die Vektoren v12, v22, v32 eine Basis von V1 zu einer Basis von V2 ergänzen.

Basis V1/V0   Es gilt: dim V1/V0 = 4, also benötigen wir vier linear unabhängige Nebenklassen für eine Basis. Wir können V1/V0 = V1/{0} natürlich mit V1 identifizieren, daher müssen wir hier Nebenklassen und Vektoren nicht mehr unterscheiden. Drei linear unabhängige Vektoren sind durch v11 = (A-λE)³·v14, v21 = (A-λE)³·v24 und v31 = (A-λE)·v32 gegeben. Folglich ist es hinreichend, den Vektor v41 einfach so zu wählen, dass die Vektoren (Nebenklassen) v11, v21, v31, v41 linear unabhängig sind.

Die Basen aller obigen Faktorräume liefern uns die 11 gesuchten Vektoren v11, v12, v13, v14, v21, v22, v23, v24, v31, v32, v41. Im Anhang zeigen wir, dass diese Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind. Die Reihenfolge der Basisvektoren ergibt sich aus der anfangs gewählten Nummerierung von selbst, also aus der Länge der Jordanketten, wobei die Ketten (v11, v12, v13, v14) und (v21, v22, v23, v24) vertauscht werden können, weil sie zu gleich langen Blöcken gehören.

Falls weitere Eigenwerte existieren, kann man analog verfahren und vereinigt die einzelnen Basen zu einer Basis, deren Spalten eine invertierbare Matrix S bilden, wobei
J = S-1·A·S
gerade die Jordansche Normalform der Matrix A ist. Dieses Ergebnis stimmt natürlich bei korrekter Berechnung aller Basisvektoren mit der anfangs bestimmten Jordanschen Normalform überein. Die Matrix S ist nicht eindeutig bestimmt, weil die Endglieder der Jordanketten nicht eindeutig bestimmt sind und gleich lange Ketten zu einem Eigenwert vertauscht werden können. Wenn verschiedene Eigenwerte existieren, ist die Reihenfolge der entsprechenden Jordanblöcke zudem nicht festgelegt.

Anwendung der JNF lineare Unabhängigkeit der Jordanbasis