Beispiel
Das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A zerfalle in Linearfaktoren, wobei der Eigenwert λ die algebraische Vielfachheit 11 habe. Wir bezeichnen die n×n-Einheitsmatrix einfach mit E, und es gelte:
Rang(A-λE)0 - Rang(A-λE)1 = 4,
Rang(A-λE)1 - Rang(A-λE)2 = 3,
Rang(A-λE)2 - Rang(A-λE)3 = 2,
Rang(A-λE)3 - Rang(A-λE)4 = 2.
Alle weiteren Differenzen sind 0, denn 4+3+2+2=11.
Daraus ergibt sich zum Eigenwert λ die Rangpartition p(λ) = (4,3,2,2).
Wir berechnen die duale Partition q(λ):
Rang(A-λE)1 - Rang(A-λE)2 = 3,
Rang(A-λE)2 - Rang(A-λE)3 = 2,
Rang(A-λE)3 - Rang(A-λE)4 = 2.
Alle weiteren Differenzen sind 0, denn 4+3+2+2=11.
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 1,
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 2,
2 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 3,
1 Zahl in p(λ) ist größer oder gleich 4.
Die duale Partition q(λ) lautet daher: (4,4,2,1).
4 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 2,
2 Zahlen in p(λ) sind größer oder gleich 3,
1 Zahl in p(λ) ist größer oder gleich 4.
Somit gibt es zwei Jordanblöcke der Länge 4, einen Jordanblock der Länge 2 und einen Jordanblock der Länge 1 zum Eigenwert λ.
λ | 1 | 0 | 0 | |||||||
0 | λ | 1 | 0 | |||||||
0 | 0 | λ | 1 | |||||||
0 | 0 | 0 | λ | |||||||
λ | 1 | 0 | 0 | |||||||
0 | λ | 1 | 0 | |||||||
0 | 0 | λ | 1 | |||||||
0 | 0 | 0 | λ | |||||||
λ | 1 | |||||||||
0 | λ | |||||||||
λ |
Anzahl und Nummerierung der Basisvektoren
Den größten Jordanblock haben wir wie üblich an die 1. Position gesetzt. Weil er die Länge 4 hat, sind ihm vier Basisvektoren zugeordnet, die wir mit
v11, v12, v13, v14
bezeichnen. Man kann sich diese Vektoren wie eine Kette mit vier Gliedern vorstellen - am ersten Jordanblock lassen sich nämlich folgende Relationen ablesen:
v13 = (A-λE)·v14,
v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)²·v14,
v11 = (A-λE)·v12 = (A-λE)²·v13 = (A-λE)³·v14.
Zum zweiten Jordanblock (Länge 4) gehören ebenfalls vier Basisvektoren
v12 = (A-λE)·v13 = (A-λE)²·v14,
v11 = (A-λE)·v12 = (A-λE)²·v13 = (A-λE)³·v14.
v21, v22, v23, v24,
die genauso wie die erste Kette zusammenhängen. Zum dritten Jordanblock (Länge 2) gehört eine Kette von zwei Basisvektoren
v31, v32
und zum vierten Jordanblock (Länge 1) die Kette mit nur einem Basisvektor
v41.
Wir haben hier vier sogenannte Jordanketten mit insgesamt 11 Vektoren, wobei jede Kette durch den jeweils letzten Vektor eindeutig bestimmt ist. Es sind daher die passenden vier
“Endglieder” v14, v24, v32, v41 gesucht, so dass letztendlich alle 11 resultierenden Vektoren linear unabhängig sind.