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Jordansche Normalform


Lineare Unabhängigkeit der Jordanbasis

Es ist zu zeigen, dass die elf Vektoren v11, v12, v13, v14, v21, v22, v23, v24, v31, v32, v41 linear unabhängig sind.

(v11+V0, v21+V0, v31+V0, v41+V0) ist eine Basis des Faktorraumes V1/V0, daher sind die vier Vektoren   v11, v21, v31, v41   linear unabhängig.

(v12+V1, v22+V1, v32+V1) ist eine Basis des Faktorraumes V2/V1, daher sind die drei Vektoren   v12, v22, v32   linear unabhängig.

Nun zeigen wir, dass die sieben Vektoren v11, v21, v31, v41,  v12, v22, v32 linear unabhängig sind. Es sei:

(I) 0 = a11·v11 +a21·v21 +a31·v31 +a41·v41 +a12·v12 +a22·v22 +a32·v32.

Wir wenden auf diese Gleichung die lineare Abbildung (A-λE) an, dann verschwinden die ersten vier Summanden, weil sie in Kern(A-λE) liegen, und es folgt:
0 = a12·(A-λE)·v12 + a22·(A-λE)·v22 + a32·(A-λE)·v32   ⇒
0 = a12·v11 + a22·v21 + a32·v31.
Weil die Vektoren v11, v21, v31 aber linear unabhängig sind (siehe oben), müssen die Koeffizienten a12, a22, a32 jeweils Null sein. Dieses Resultat setzen wir in Gleichung (I) ein, und daraus folgt:

0 = a11·v11 +a21·v21 +a31·v31 +a41·v41 +0·v12 +0·v22 +0·v32   ⇒
0 = a11·v11 +a21·v21 +a31·v31 +a41·v41.

Weil wiederum die Vektoren v11, v21, v31, v41 linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten a11, a21, a31, a41 jeweils Null sein. Die Gleichung (I) ist somit nur dann erfüllbar, wenn alle aij = 0 sind. Folglich sind die sieben Vektoren   v11, v21, v31, v41,   v12, v22, v32   linear unabhängig.

Auf analoge Weise folgt letztendlich die lineare Unabhängigkeit aller elf Vektoren. Aus unserem speziellen Nachweis kann man leicht ein allgemeines induktives Beweisverfahren ableiten. Die Basen aller Faktorräume Vj/Vj-1 liefern also stets eine Jordanbasis.


Jordanbasis


Typische Fehler

Statt der Faktorräume kann man auch direkte Summen verwenden, die Problemstellung bleibt gleich - eine Basis des Raumes Vj-1 muss zu einer Basis von Vj ergänzt werden. Hierbei reicht es nicht, einfach nur passend viele linear unabhängige Vektoren aus Vj zu wählen, die nicht in Vj-1 liegen.

Hierzu ein Beispiel: Es sei V1 = <e1, e2> ⊂ V2 = IR4. Die Vektoren v12 = 2e3+2e4 ∈ V2 und v22 = e2+e3+e4 ∈ V2 sind linear unabhängig und liegen nicht in V1. Sogar v12-v22 liegt nicht in V1, dennoch ergänzen v12, v22 die Basis (e1, e2) von V1 nicht zu einer Basis von V2, weil die vier Vektoren e1, e2, v12, v22 linear abhängig sind. Gleichbedeutend damit ist, dass die zwei Nebenklassen v12+V1, v22+V1 ∈ V2/V1 linear abhängig sind. Das gilt dann natürlich auch für ihre Bilder unter der linearen Abbildung

G: V2/V1  →  V1/V0   mit G(v12+V1) = (A-λE)·v12+V0 = v11+V0
und   G(v22+V1) = (A-λE)·v22+V0 = v21+V0.

Weil aber V0 der Nullraum ist, müssen wir nicht mehr zwischen Vektoren und Nebenklassen unterscheiden. Folglich sind auch die Vektoren v11, v21 ∈ V1 linear abhängig und können nicht gemeinsam in einer Jordanbasis liegen. Auch das lässt sich verallgemeinern: Wenn die fraglichen Nebenklassen aus einem Faktorraum Vj/Vj-1 linear abhängig sind, ergeben sich auf jeden Fall linear abhängige Vektoren in V1, die unsere Jordanbasis zerstören.

Man sieht es aber bei Studienanfängern ziemlich oft, dass nur die lineare Unabhängigkeit passend vieler Vektoren aus Vj anstatt der Nebenklassen in VJ/Vj-1 überprüft wird - die Bestimmung einer Jordanbasis gerät damit zum Glücksspiel. Ausgeschlossen ist es zwar nicht, dass linear unabhängige Vektoren zufällig linear unabhängige Nebenklassen ergeben, aber natürlich sollte darauf niemand bauen. Die korrekte Bedingung lautet wie folgt:

Die Nebenklassen v1j+Vj-1, v2j+Vj-1...vkj+Vj-1 bilden genau dann eine Basis von Vj/Vj-1, wenn eine Basis (b1, ...., bs) des Raumes Vj-1 durch die Vektoren v1j, v2j, ..., vkj ∈ Vj zu einer Basis von Vj ergänzt wird. Es ist also zu prüfen, ob die Matrix (b1 b2 ... bs v1j v2j .. vkj) den Rang s+k hat. Das ist genau dann der Fall, wenn die s+k Vektoren linear unabhängig sind.
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