Lineare Unabhängigkeit der Jordanbasis

Es ist zu zeigen, dass die elf Vektoren v₁₁, v₁₂, v₁₃, v₁₄, v₂₁, v₂₂, v₂₃, v₂₄, v₃₁, v₃₂, v₄₁ linear unabhängig sind.

(v₁₁+V₀, v₂₁+V₀, v₃₁+V₀, v₄₁+V₀) ist eine Basis des Faktorraumes V₁/V₀, daher sind die vier Vektoren   v₁₁, v₂₁, v₃₁, v₄₁   linear unabhängig.

(v₁₂+V₁, v₂₂+V₁, v₃₂+V₁) ist eine Basis des Faktorraumes V₂/V₁, daher sind die drei Vektoren   v₁₂, v₂₂, v₃₂   linear unabhängig.

Nun zeigen wir, dass die sieben Vektoren v₁₁, v₂₁, v₃₁, v₄₁,  v₁₂, v₂₂, v₃₂ linear unabhängig sind. Es sei:

(I) 0 = a₁₁·v₁₁ +a₂₁·v₂₁ +a₃₁·v₃₁ +a₄₁·v₄₁ +a₁₂·v₁₂ +a₂₂·v₂₂ +a₃₂·v₃₂.

Wir wenden auf diese Gleichung die lineare Abbildung (A-λE) an, dann verschwinden die ersten vier Summanden, weil sie in Kern(A-λE) liegen, und es folgt: Weil die Vektoren v₁₁, v₂₁, v₃₁ aber linear unabhängig sind (siehe oben), müssen die Koeffizienten a₁₂, a₂₂, a₃₂ jeweils Null sein. Dieses Resultat setzen wir in Gleichung (I) ein, und daraus folgt:

0 = a₁₁·v₁₁ +a₂₁·v₂₁ +a₃₁·v₃₁ +a₄₁·v₄₁ +0·v₁₂ +0·v₂₂ +0·v₃₂   ⇒
0 = a₁₁·v₁₁ +a₂₁·v₂₁ +a₃₁·v₃₁ +a₄₁·v₄₁.

Weil wiederum die Vektoren v₁₁, v₂₁, v₃₁, v₄₁ linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten a₁₁, a₂₁, a₃₁, a₄₁ jeweils Null sein. Die Gleichung (I) ist somit nur dann erfüllbar, wenn alle a_ij = 0 sind. Folglich sind die sieben Vektoren   v₁₁, v₂₁, v₃₁, v₄₁,   v₁₂, v₂₂, v₃₂   linear unabhängig.

Auf analoge Weise folgt letztendlich die lineare Unabhängigkeit aller elf Vektoren. Aus unserem speziellen Nachweis kann man leicht ein allgemeines induktives Beweisverfahren ableiten. Die Basen aller Faktorräume V_j/V_j-1 liefern also stets eine Jordanbasis.

Typische Fehler

Statt der Faktorräume kann man auch direkte Summen verwenden, die Problemstellung bleibt gleich - eine Basis des Raumes V_j-1 muss zu einer Basis von V_j ergänzt werden. Hierbei reicht es nicht, einfach nur passend viele linear unabhängige Vektoren aus V_j zu wählen, die nicht in V_j-1 liegen.

Hierzu ein Beispiel: Es sei V₁ = <e₁, e₂> ⊂ V₂ = IR⁴. Die Vektoren v₁₂ = 2e₃+2e₄ ∈ V₂ und v₂₂ = e₂+e₃+e₄ ∈ V₂ sind linear unabhängig und liegen nicht in V₁. Sogar v₁₂-v₂₂ liegt nicht in V₁, dennoch ergänzen v₁₂, v₂₂ die Basis (e₁, e₂) von V₁ nicht zu einer Basis von V₂, weil die vier Vektoren e₁, e₂, v₁₂, v₂₂ linear abhängig sind. Gleichbedeutend damit ist, dass die zwei Nebenklassen v₁₂+V₁, v₂₂+V₁ ∈ V₂/V₁ linear abhängig sind. Das gilt dann natürlich auch für ihre Bilder unter der linearen Abbildung

G: V₂/V₁  →  V₁/V₀   mit G(v₁₂+V₁) = (A-λE)·v₁₂+V₀ = v₁₁+V₀
und   G(v₂₂+V₁) = (A-λE)·v₂₂+V₀ = v₂₁+V₀.

Weil aber V₀ der Nullraum ist, müssen wir nicht mehr zwischen Vektoren und Nebenklassen unterscheiden. Folglich sind auch die Vektoren v₁₁, v₂₁ ∈ V₁ linear abhängig und können nicht gemeinsam in einer Jordanbasis liegen. Auch das lässt sich verallgemeinern: Wenn die fraglichen Nebenklassen aus einem Faktorraum V_j/V_j-1 linear abhängig sind, ergeben sich auf jeden Fall linear abhängige Vektoren in V₁, die unsere Jordanbasis zerstören.

Falls stattdessen nur auf die lineare Unabhängigkeit passend vieler Vektoren aus V_j geachtet wird, gerät die Bestimmung einer Basis zum Glücksspiel. Ausgeschlossen ist es zwar nicht, dass linear unabhängige Vektoren zufällig linear unabhängige Nebenklassen ergeben, aber die hinreichende Bedingung lautet wie folgt:

Die Nebenklassen v_1j+V_j-1, v_2j+V_j-1...v_kj+V_j-1 bilden genau dann eine Basis von V_j/V_j-1, wenn eine Basis (b₁, ...., b_s) des Raumes V_j-1 durch die Vektoren v_1j, v_2j, ..., v_kj ∈ V_j zu einer Basis von V_j ergänzt wird. Es ist also zu prüfen, ob die Matrix (b₁ b₂ ... b_s v_1j v_2j .. v_kj) den Rang s+k hat. Das ist genau dann der Fall, wenn die s+k Vektoren linear unabhängig sind.