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Kegelschnitt

Die Schnittkurve eines Kreiskegels mit einer Ebene, die nicht die Grundfläche des Kegels schneidet, ist eine Ellipse. Man kann die Ellipse auch als Menge aller Punkte der Ebene auffassen, deren jeweilige Abstandssumme zu den zwei Brennpunkten stets die gleiche Zahl ergibt (Fadenkonstruktion). Die Brennpunkte liegen auf der längsten Sehne, der großen Achse 2a (siehe Skizze weiter unten). Die hierzu orthogonale Sehne 2b heißt „kleine Achse”. Beide Sehnen sind die Symmetrieachsen der Ellipse.

Ellipse

Anfrage: „apostate”, gmx
Gibt es für den Umfang der Ellipse eine mathematische Formel?

Antwort:

Der exakte Umfang der Ellipse mit der großen Halbachse a

Jede Ellipse ist durch a und b eindeutig bestimmt.
und der kleinen Halbachse b ist durch das elliptische Integral a ·∫√1 - ε² · cos²t dt  in den Grenzen 0 bis 2 pi gegeben. Solche Integrale kann man jedoch nicht elementar berechnen.

Wenn aber die numerische Exzentrizität ε:= a²-b² / a hinreichend klein ist, die Ellipse also ungefähr einem Kreis entspricht, dann lässt sich der Umfang halbwegs genau mit dem Term 3pi · (a+b)/2 - pi · a · b bestimmen. Hieraus ergibt sich etwa für a = 5/4 und b = 1 der Näherungswert 7,0904... Dieser stimmt mit dem exakten Umfang bis zur 4. Kommastelle überein. Für besonders gestreckte oder gestauchte Ellipsen ist diese Methode aber viel zu ungenau, wie unser folgendes Beispiel zeigt:

Die Näherungsformel liefert für die Ellipse mit den Halbachsen a = 10, b = 1 den Umfang 41,9...  Der wirkliche Umfang, also das Integral 10 ·∫√1 - (99/100) · cos²t dt  in den Grenzen 0 bis 2pi, ist hingegen kleiner als 41.


Mathematik-Online, Ellipse


Bemerkungen:

Wir leiten jetzt die genaue Umfangsformel für die Ellipse ausführlich her:

Die Gleichung x²/a² + y²/b² = 1 beschreibt die Ellipse mit den Halbachsen a und b. Wir ersetzen nun diese Gleichung durch die Parameterdarstellung [a·cost, b·sint] mit 0 ≤ t ≤ 2pi. Der Umfang U der Ellipse, also die volle Bogenlänge, entspricht somit dem Integral

Herleitung des elliptischen Integrald

Die numerische Exzentrizität a²-b² /a bezeichnen wir mit ε, dann gilt:


elliptisches Integral       

Allein mit dieser Formel können wir aber noch lange nicht den Umfang der Ellipse berechnen, weil zu dem Integranden f(t):= 1 - ε² · cos²t   keine elementare Stammfunktion existiert. Daher entwickeln wir f mit Hilfe des Taylorschen Satzes in eine Funktionenreihe fi(t) =

Reihenentwicklung von f(t)

Wegen der evidenten Voraussetzung: ε < 1 konvergiert diese unendliche Reihe für alle t ∈ [0; 2pi] gleichmäßig(!) gegen f(t). Hieraus folgt, dass die Reihe der Einzelintegrale ∑∫fi(t) dt gegen f(t) dt in den Grenzen [0; 2pi] konvergiert. Wir müssen also „nur noch” die Integrale der einzelnen Reihenglieder berechnen.


Mathematik-Online, Ellipse


Es gilt:

Berechnung der einzelnen Integrale

Der Ellipsenumfang ist also der Grenzwert der Reihe

Lösung des elliptischen Integrals



Zum Beispiel hat die Ellipse mit den Halbachsen a = 2, b = 1 den Umfang

Umfang der Ellipse

Die ersten 10 Glieder dieser unendlichen Reihe ergeben die Zahl 9,69160... und die ersten 20 Glieder die Zahl 9,68849...
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