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  Pythagoras: a² + b² = c²


Aus dem Lehrsatz des Pythagoras folgt, dass in einem Quadrat der Seitenlänge 1 die Diagonale die Länge 2 hat. Die unendlich vielen Nachkommastellen dieser Zahl wiederholen sich nicht periodisch. Es existieren also keine ganzen Zahlen a und b mit a/b = 2. Den Beweis hierzu führten die Griechen bereits vor rund 2.500 Jahren - und er lässt sich problemlos verallgemeinern:

Wurzel(2)

Anfrage: uwe, aptix.com
Der Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist, wird bekanntlich durch einen Widerspruch herbeigeführt. Meine Frage lautet nun: Lässt sich dieser Beweis auch auf andere Zahlen übertragen? Wenn ja, wo genau scheitert dann bei Wurzel(4) die allgemeine Beweisführung?

Antwort:

Den Beweis kann man wörtlich auf jede Primzahl p übertragen, wenn man die Ziffer 2 durch p ersetzt:
Angenommen, p wäre eine rationale Zahl, dann existieren teilerfremde natürliche Zahlen a und b mit a/b = p. Daraus folgt: p · b² = a² also ist die Primzahl p ein Teiler von a² und teilt daher auch a. Daraus folgt: a = k · p ⇒ a² = k²p² ⇒ pb² = k²p² ⇒ b² = k²p ⇒ p teilt b² ⇒ p teilt b. Somit ist p ein Teiler von a und b, also sind a, b nicht teilerfremd - Widerspruch!

Dagegen folgt aus „4 teilt a²” im Allgemeinen nicht „4 teilt a”, weil 4 eben keine Primzahl ist. Zum Beispiel ist 4 ein Teiler von 36 aber kein Teiler von 6.

Bemerkung:

Für alle natürlichen Zahlen m und n lässt sich übrigens zeigen, dass die reelle Zahl m hoch 1/n entweder ganzzahlig oder irrational ist. Im rationalen Fall existieren nämlich natürliche Zahlen a und b mit ggT(a,b) = 1 und (a/b)n = m, daraus folgt: an = b · bn-1 · m. Somit teilt b die Zahl an, also ist ggT(an,b) = b. Aus ggT(a,b) = 1 folgt: ggT(an,b) = 1 und damit gilt: b = 1.

Insbesondere folgt daraus, dass die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl m irrational ist, wenn m keine Quadratzahl ist.

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